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1、历年高考试题汇编一数列一九九四年高考1. (1994全国理，12)等差数列d的前加项和为30,前2加项和为100,则它的前36项和为()A. 130B. 170C. 210D. 260答案：Cm(m -1) , _ma. H-d = 30解法一：由题意得方程组22m% +网犯口 = 100I 2包 “ -w 皿 口 r 4010(m + 2)视机为已知数，解得d = -,a=mm.c 嗔10(加+ 2) 3m(3m-l) 40312m22 m2解法二：设前m项的和为b,第m+1到2m项之和为岳，第2m+l到3/n项之和为，则仇，b2,必也成等差数列.于是加=30, &2= 100-30=70,
2、公差 公7030=40.23=岳+1=70+40= 110前3m项之和53尸。1+岳+03=210.解法三：取加=1,贝ij =Si=30,。2=2一$=70,从而 心念一i=40.于是 3=2+d=70+40=l 10.153=。1+。2+。3=210.评述：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得 的信息可知，对任意变化的自然数?，题给数列前3机项的和是与加无关的不变量，在 含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影.2. （1994全国理，15）某种细菌在培养过程中，每
3、20分钟分裂一次（一个分裂二个）经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（）A. 511 个B. 512 个C. 1023 个D. 1024 个答案:B解析：由题意知细菌繁殖过程中是一个公比为2的等比数列，所以。io=sq9=29=512.评述：该题作为数学应用题，乂是选择题，问题的实际背景虽然简单，考查的知识 点也集中明确，但也有一定的深刻性.解决本题，应搞清题意，应求的是。9的值，而不是求和.从题型设计的角度，本题的立意、取材和构题都是不错的.3. （1994上海，20）某个命题与自然数有关，若小（AGN）时该命题成立，那 么可推得当作k+1时该命题也成立，现已知当炉5时，该命题不成立，那么可
4、推得（）A.当方6时该命题不成立B.当方6时该命题成立C.当小4时该命题不成立D.当方4时该命题成立答案：C解析：因为当时，命题成立可推出=%+1时成立，所以=5时命题不成立，则 ”=4时，命题也一定不成立，故应当选C.4. （1994全国文，25）设数列的前项和为S,若对于所有的正整数，都有 即3/%） .证明:1是等差数列.2解：证法一：令d=ct2ai，下面用数学归纳法证明斯=41+ （n 1） d （WN*）当 =1时，上述等式为恒等式m=幻，当=2时，a+ （2 1） d=a+ （公一伯）=3 等式成立.假设当片上 （女N,女22）时命题成立，即以=田+ （左一1） d 由题设，有s
5、* = 3；4）,Se = + 1）（；士0, 又 &.+i=S计图+1，所以-+ D !）=（94.）+a=22将诙=以1+ （攵-1） d代入上式,得(A+1) (。1+仅+1)=2ka+k (AT) d+2%i整理得 Ck 1）四+1= （k 1）。1+&（k 1） d：k22,ak+=a+ （女+1） 1 2即片&+1时等式成立.由和，等式对所有的自然数成立，从而斯是等差数列.证法二：当22 时，由题设，s.1二（ D（%+%）, $“/（%+）T22所以 a“ = S“ S“1 = （）_+J）同理有 a =（1 + 1）3+*） +%）,+122从而 _（ + l）（4+a，+J“
6、上、上（ 1）（4+a，-J从而4+1 - a =（4 + 4）+2整理得：an+an=an-an-,对任意“22成立.从而斯是等差数列.评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等 差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的 通项公式，有-定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归 纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是a“=ai+（H-1） d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.5. （1994全国理，25）设2是正数组成的数列，其前项和为并且对所有 自然数，d与2的等差
7、中项等于S与2的等比中项.（I）写出数列，的前三项；（II）求数列?的通项公式（写出推证过程）；（III）令。尸一1 + -5- （WN*）,求lim （b、+bz+bn）.21 4 +1）-0解：（I）由题意午2 = ?，恁0令 n=l 时， ； 2 = 12sl S=a解得 a =2,令=2 时有 %； = J2s2 S2=a +a2解得 a2=6,令 n=3 时有2 = J2s353=3+。2+。3解得的=10故该数列的前三项为2、6. 10.（II）解法一：由（I ）猜想数列斯有通项公式斯=4-2,下面用数学归纳法 证明数列%的通项公式是a”=4-2 （N*）1当 =1时，因为4X12
8、=2,又在（I ）中已求得“1=2,所以上述结论正确.2假设片女时，结论正确，即有延=442由题意有 =必7得神=以一2,代入上式得2人而7，解得&=2后由题意有 也92 = 回二Sk+l=Sk+ak+i得氏=2后代入得（4土!+2）2=2 （像+2必）2整理四+/-4以+i+416后=0由于以+1 0,解得：为+i=2+4k所以 a*+i=2+4k=4 (A+1) 2这就是说丑+1时，上述结论成立.根据1 , 20上述结论对所有自然数成立.解法二：由题意有，箝2 =而？(CN*)整理得 S”=1 (%+2) 28由此得S+i=-(即+i+2)8所以。+1=5+1-S”= J (fln+i+2
9、) 2 (a”+2) 2 8整理得(即+1+斯)(斯+1即-4) =0由题意知“+i+a八#0,所以。=4即数列斯为等差数列,其中。1=2,公差d=4,所以斯=。1+ (n1)所2+4 (n1)即通项公式an=4n2.(Ill)令品=，1,则 C =1也+ 2_2= *2-1%*)1 )2 + 11 12 - 1 2 +1加 +。2+ +4?n=c 1+C2+金2n + l；所以 lim(4 + 么 + + b- ) = lim 1 - /I00评述：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、 猜想出一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数的命题，可以考
10、 虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.7. (1994上海，26)已知数列满足条件：4=1, a2=r (r0)且a. 布是 公比为0)的等比数列，设。尸41+&(, 2,)(I )求出使不等式2d1 + 3132久2久2 (GN*)成立的g的取值范围；(II)求。和lim ,其中S方匕+昆+；Z8 S,(III)设42以2一1, 1,求数列 1吗%1 的最大项和最小项的值.2 log2 bn解：(I )由题意得T+Y均用由题设r0, q0,故上式/qIVO自一11 - V51 + V5所以q0,故04上乎(II)因为用%+2 = q4。用%所 以+1 _ 4+1
11、 + 02a+2 _ 4”-14 + %冈=q w0b” a2n-l +。2”a2n- + 02仇=l+rWO,所以bn是首项为1+r,公比为4的等比数列,从而仇产(1+r)产当 (7=1 时,S,=n (1+r)lim = lim-=0T8 s 0f 8 nn + r)当0ql时， Sn=7i-qv 11 - 1 时，S”=(1 +)ST)lim= 0 q -1T8 s“ a综上所述 lim= 1 + r (0，/0时221 (N)时，c“随的增大而减小，故1CC21=1 +121-20.21 + =2.250.8当一20.2CC2O=1 +120-20.20.2综合、两式知对任意的自然数n
12、有C2oc.Wc2i故?)的最大项C2i=2.25,最小项qo=-4.评述：本题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，推理能力以及分解问题 和解决问题的能力.一九九五年高考1. （1995全国，12）等差数列4, 4的前项和分别为S与L,若T 3n + l则lim%等于（）“T8 bn V6c 2c 4A. 1B. C. D.339答案：C解法一：应用等差数列中，若加+=p+q,有。,”+为=与+%这条性质来解.(4 + 4,1)Q九 一 1)a“ _ 2a, _ % +。2”-1 2 $2:-1 _ 2(2 -1) _ 4 - 2兄近二仇一(4+1,1)(21) 。_3(2“_1) +
13、_6“_22所以 lim% = d = 2b 6 3解法二：设数列斯的首项为 1，公差为d, 勾的首项为。”公差为加，则Sn _ 2al +(-l)d _ 2nTn 2bl +(n-l)m 3n + l注意是极限中的变量有an- a, +(n-lW 2a, +(n-lW 22lim = lim-= lim! = lim=.“too b”T8 +( )2 ”T8 24 + ( - l)m 18 3几 +1 3q ?n2解法三：Z =Tn 3/+不妨令 SfJ=2n2, Tn=3n2+natl=SnSn- =2n22 (- 1) 2=4n2 (n=l 时成立)，bn=TnTn =6n2 (n=l 成 立).Jim% 二T8 b 3评述：该题的形式新颖，其考查目的也明确，正确解答，可考查其数学能力，要是 在题型的选用上，采用解答题的形式
