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1、第一讲：空间几何中的向量方法坐标运算与法向量、空间向量的坐标运算1.若 a =(a1,a2,a3), b-Wbb)，则(1)a b =佝 ma? d,a3 b3)；(2) a b = ( ai bi, a2 b2 ,a3 -b3 )；(3) a = ( a1, a2, a3),厂三 R ；(4) a b = a1b1a2b2 a3b3 ；(5)(6)a _ b = a1b1a2b2=.a a a a? a3 ；(8)cos：a,b =aba2b2a3b3a/b：= 3 = bi,a2 = b2,a3 = b3,(b = 0, 二 R)；已知 a =(2, -3,5),b =(七,1, -4),
2、求 a b,a -b,8a,a b,的坐标2.若 A(X1,力，乙)，B(X2, y2, Z2),则 AB 二区 - %,勺-乙) 练习1:已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1， 求向量MN的坐标.二、空间直角坐标系中平面法向量的求法1、方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程， 要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法 向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。例1 已知AB=(2, 2,1), AC =(4,5,3),求平面ABC的法向量
3、。1x =一解：设jx,y,z)，则由得*驾0即2X 2y 0 h AC=0 4x + 5y+3z=0x啤1不妨设 z=1，得 2，取 n =(,-1,1)y=-12yZ1X1Z1X1y1卫2 Z2J X2 Z2JX2y2其中行列式2. 矢量积公式yi乙y2Z2a =(Xi, %,乙)，13 =(X2,y2,Z2),a b 二= %Z2 -2乙,法向量取与向量ab共线的即可。a = (2 2 1)用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写也=(4,5,3)蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算2 3-1 5=1就是向量a b的x坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算
4、-2 3-4 1=-2，作4 4为a b的y坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算2 5-4 2 = 2作一耳4斗为z坐标，所以 a b =(1,-2,2)，可以取 n =(1,-2,2)，它与前面方程法求得的1n =, -1,1)是共线向量。优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，速度快、结果准。例2 已知A(3,0,0) ,B(0,4,0) ,C(0,0,2)，试求平面ABC的一个法向量练习：已知平面：经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1) C(3, - 2,0)试求平面的一个法向量第二讲：立体几何的向量方法平行与垂直一、平行设直线i,m的方向向量分别为
5、a,b，平面:的法向量分别为u,v，贝y(1) 线线平行：/m= 二 ;(2) 线面平行：l 二 ；(3) 面面平行： otP二导；例1:四棱锥P - ABCD，底面ABCD是正方形，PD _底面ABCD , PD = DC , E是PC的中点，求证：PA /平面EDB .二、垂直1、线线垂直设直线l的方向向量分别为 a= c,a2,a3，设直线m的方向向量分别为 b=九鸟4 ,则l丄m吕二二2、线面垂直4*设直线l的方向向量分别为 a= a1,a2,a3，设平面-：的法向量分别为u= u1,u2,u3 ,则I丄a = 二3、面面垂直设平面的法向量分别为U=：U1,U2,U3，设平面的法向量分
6、别为VhV1,V2,V3，则CC 丄 0 二 二 二 (一) 证明线线垂直例2：已知正三棱柱 ABC -A1B1C1的各棱长都为1, M是底面上BC边上的中点，N是侧1棱CG上的点，且CN CG，求证：AB1 _ MN .4变式1：已知正三棱柱 ABC -A1B1C1的各棱长都为 1，若侧棱CC1的中点 D，求证：AB1 A1D .(二) 证明线面垂直第三讲：立体几何的向量方法-角度例2：如图所示，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，0为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：AiO _ 平面 GBD .变式训练2：如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E、F分别是BB|,
7、 D1B1的中点,求证：EF _ 平面 BiAC.（三）证明面面垂直例 3:在 四 面 体 AB BEF _平面ABC CD 中AB _ 平面 B C D 二 B,C : C 屯 B C,二分别是AC、AD的中点，求证：平面 BEF _平面ABC .变式训练3:在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是三角形PAB的重心，E、F 分别是BC、PB上的点，且BE : FB=1:2，求证：平面 GEF _平面PBC .一、空间向量三种角的向量求解方法II441、 异面直线所成的角：设异面直线1(2的方向向量分别为 a和b，贝U h与12夹角二满足，其中0的范围是.II442、 线面角：设直线
8、l的方向向量为a和平面:-的法向量为n ,贝U直线I与平面:-的夹角二满足，其中日的范围是.3、 二面角：设平面:-的法向量为n ,设平面：的法向量为 m，则平面:-与平面：所成二面角日满足，其中0的范围是.二、典型例题例1：在Rt ABC中，.BCA =90：，现将:ABC沿着平面的法向量平移到A1B1C1的位置，已知BC二CA=CC1，取AB,、AG的中点D1、F1，求BD1与AF1所成角的余弦值练习1：正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1,求B1C1与面AB1C所成角的余弦值例3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD _底面ABCD , PD=DC , E是PC
9、的中点，作EF _ PB交PB于F,求二面角C-PB-D的大小.练习2：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，.DAB = 60； ,AB = 2AD ,PD _ 底面 ABCD .证明：PA_BD.若PD=AD，求二面角 A-PB-C的余弦值.练习3:在四棱锥 P-ABCD，底面ABCD为矩形，PA _底面ABCD，AP = AB = 2,BC =2 2, E,F分别是AD，PC的中点.证明：PC_平面BEF.求平面BEF与平面BAP的夹角大小第四讲：立体几何的向量方法-距离(1) 点面距离的向量公式I4平面的法向量为n，点P是平面:-外的一点，点 A为平面内的一点，则点 P到平
10、面a的距离d等于;(2) 线面、面面距离的向量公式Ir平面/直线l，平面:-的方向量为n，点M三：，P l，平面与直线I间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即 d=;(3) 异面直线的距离向量公式I设向量n与异面直线 a b都垂直，M a,b，则两异面直线 a、b间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即 d =.例1:正方形ABCD的边长为4, CG丄平面ABCD,CG=2,E F分别是AB AD勺中点，(1) 求点B到平面GEF的距离；(2) 求直线BD到平面GEF的距离.例2 :直三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱AA 1=4，底面三角形 ABC中，AC=BC=2 ,-BCA =90、, E是AB的中点，求异面直线 CE与AB 1的距离.
