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1、2.2求导法则与导数的基本公式教学目标与要求1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2. 理解反函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数，有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数一一初等函数的导
2、数。一、函数的和、差、积、商求导法则1函数的和、差求导法则定理1函数u(x)与v(x)在点兀处可导，则函数yu(x)土v(x)在点兀处也可导，且y，u(x)土v(x)，u，(x)土v，(x)证(w+r)f-Jim!+h(Q+巩巧Ay_u(x+Av)-u(x)+r(x4-Av)-v(x)|milAx+Av)v(x+Av)v(.v)-lim+limAv同理可证：u(x)-v(x)u(x)-v(x)即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即u(x)土u(x)土土u(x)u(x)土u(x)土土u(x)，12n即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。解y=x4,cosx,Inx,2丿的导数例
3、1求函数y=x4,cosx,Inx,=C)+(cosxJ+(lnx)+sinx,2.函数积的求导公式定理2函数u(x)与v(x)在点兀处可导，则函数y=u(x)v(x)在点兀也可导，且y=u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)。十+&)-w(x)r(x)=w(x+iv)v(x+Av)-+Ay)-i-h(x)v(aj+Ar)-w(jv)v(x)=M(x+A.v)+w(,r)、因为巩切可导，必连续，故】imr(x4-iv)=v(x),于是Av-M)lim=lini-limv(jf4Av)+w(x)lim&AttDAttDJx护()*(黑)十w(x)v().注意：1)特别地，当u=c(
4、c为常数)时，y=cv(x)=cv(x)，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得:y=au(x)土bv(x)=au(x)土bv(x)。2)函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即(uuu)=uuu,uuu,uuu。12n12n12n12n例2求下列函数的导数。1) y=3x3+2x2-5!+4linx；解y，=Gx3)+Gx2)-(5xJ+(4sinx)9x2+4x一5+4cosx2) y3x3+4lnx-5cosx,4解y4x+5smxx例3求下列函数的导数1)yx3+4xsinx；2)yx3lnxcosx解1)y(x3+4xsix)(x3)+
5、4(x)sinx+x(sij)1 2sinx3x2+4(sinx+xcosx)=3x2+4xcosx2 xx2)y(x3lnxco)(x3)lnxcosx+x3(lnx)cosx+x3lnx(cosx)3x2lnxcosx+x31cosx-x3lnxsinxxx2osx+cosx，xlnxsi)3.函数商的求导法则.定理3函数x)与v(x)在点兀处可导，且v(x)丰0，则函数y缪在点兀处也可v(x)导，且u(x)u(x)v(x)一u(x)v(x)yv(x)v2(x)证人丁_+Ax)(x)/(x4-Av)vx)-h(x)f(a:+Av)v(x+Ax)vx)v(x-f-Ax)v(x)u(x+Ax)
6、r(x)-(x)v(x)-w(x)v(x+Ax)(x)v(x)|+Ax)-r(x)v(x)A-w(x)AvAvAxv(4-Ax)-v(x)所以Ayv(x税-u(x)_Axv(x+Ax).v(x)因为v(x)可导,必连续，故limv(x+Ax)v(x)，于是AxtOv(x)lim，U-u(x)li,x_0,xAxv(x)limv(x+,AxtOu(x)v(x)-u(x)v0,二在匚二(-1,1)内有cosV11vl-sin2y71-a2*(arcsinx)1=(1-x类似有価=-j=2VI-(arctanx)J=牙14-X-(arccot=11x例7求函数yax(a0,a丰1)的导数。解由于ya
7、x(xG(+)为对数函数xlogy(yg(0,+)的反函数，根据反a函数的导数法则得1y，(ax)，ylnaaxlna(logy)，a所以，指数函数的导数公式为(ax)axlna特别地，当ae时，有(ex)ex三、复合函数的求导法则综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如：ysin2x。思考：如果ysin2x,是否有(sin2x)=cos2x？因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。定理设函数u=申(x)在点x处有导数u=0(x
8、)，函数yf(u)在对应点u处有导x数y，f,(u)，则复合函数yf申(x)在点兀处也有导数，且u(f叩(x)，f，(U)0(x)简记为dxdydudu、dx或yxyu(证明略)注意：(1)复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。(2)复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设yf(u)，dydydudv或yyuvdxdudvdxxuvx(3)在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求
9、导。求函数y(2+3x6的导数y，62+3x5-3=182+3x5cosHn3x求函数ysinn3x丿的导数y，cosin3x)1313 x2x例10求幕函数yxu的导数。解(好y=(孑贬y=(严兰例11求函数y，f（sinx）+sinf（x）的导数。y，广(sinx)cosx+cosf(x)f(x)例12求下列函数的导数。1)y,fJ)；x2）y，ef（x）。解ly=/F(-)(-y=-4r(-)-XXXX本节小结通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：1.求导法则（1）u土v，u土V（3）（cu），cu（c为常数）/C、cv（5）（）=一（c为常数）VV2(2)(uv)，uv+uv(4)(u)，uv一uvv2(心0)1f1(y)=f(x)(八x)丰0)(7)yyu，其中yf(u),u=申(x)xux2基本初等函数的导数公式(c)f=o.(W，(斫越日=弓ay二犷lx,(eTy=e(1哄x)*=,(lnx/=丄,天In”主说明：xaU,(111工)=丄；xx0,llu(-x)l，=,所以(ln|x|/=-*-xxx
