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1、隋唐时期的数学隋唐时期，由于农业、手工业和商业的发展，以及编制历法、开凿大运河和大规模城市建设等实际需要，数学在前代成就的基础上继续向前发展。这一时期，见于记载的数学著作已明显增多，如隋书经籍志著录有27种，宋初编纂的新唐书艺文志著录有35 种。数学教育制度的确立、李淳风等对于十部算经的整理和注释、王孝通缉古算经关于三次方程的工作、二次内插法的创立、实用算术的发展和计算技术的革新，以及数学知识的普及、中外数学交流的扩大等等，在中国古代数学史上都具有重要意义。数学教育据历史记载，早在西周时期“数”作为“六艺”之一，成为贵族子弟必修的一门课程，在一定程度上受到统治阶级的重视。当时还有世代相传掌管天
2、文历法和通晓数学的所谓“畴人”。但是数学知识的延续和发展，主要依靠私授家传。如著名数学家祖冲之就称得上是数学世家。隋唐时期，在数学教育方面的一项重要举措是在国子监内设立算学馆，并相应地在科学考试中设有明算科。如隋朝国子寺设立“算学”，置有博士二人，助教二人，招收学生八十人，进行数学教育。唐沿隋制，国子监亦设置“算学”，但其设于何时则有两种说法。一说为贞观二年（628），“是岁大收天下儒士.其书算各置博士学生，以备众艺”。唐会要也有类似记载，并且提到唐太宗多次亲临国子监视察，“国学之盛，近古未有”。另一说则称，“唐废算学，显庆元年复置”。从唐初百废待兴到社会稳定、经济繁荣和文化发达的总体情况来看
3、，大致应是，贞观初设“算学”，后曾一度撤销，而在显庆元年（656）又在国子监内重新添设算学馆。唐代算学馆由算学博士“掌教文武八品以下及庶人之子为生者”，共招收学生三十人，分为两组，学制均为七年。学习内容主要是十部算经，其中一组十五人学习九章算术、海岛算经、孙子算经、五曹算经、张丘建算经、夏侯阳算经、周髀算经和五经算术，另一组十五人学习缀术和缉古算经。按当时规定，孙子和五曹共限习一年，九章和海岛共三年，张丘建和夏侯阳各一年，周髀和五经算共一年，缀术四年，缉古三年，此外还要兼习数术记遗和三等数。与此相应科举取士还设置了明算科，考试内容主要从十部算经中选题，考试合格者可分配从九品以下的官职。然而，终
4、唐之世数百年间，封建统治者对于数学教育兴废无常，算学馆有时设置有时停办，隶属关系也常有改变，有时属于国子监，有时又属于秘书局或太史局，如显庆元年（656）设算学馆，仅过两年多，于显庆三年（658），因算学等“事唯小道，各擅专门，有乖故实，并令省废”，取消了算学馆，并把算学博士以下人员转属太史局。龙朔二年（662）又重设算学馆，而学生人数减为十人，翌年再使“算学隶秘书局”。此后，“算学”仍时有兴废，大约在晚唐时，明算科考试也被取消了。这种情况当然对数学发展是不利的。隋唐以后在国子监创设算学馆，进行专业数学教育，科举考试中设立明算科选拔数学人才，这毕竟是我国历史上的创举。但由于封建思想的束缚，重经
5、史轻理工的风气长期盛行，因而数学教育并没有受到应有的重视。例如，在唐代国子监中，有国子、太学、四门、律学、书学、算学六个学馆，其中国子学有学生三百人，太学、四门各有学生五百人，而算学仅有学生三十人，后来又减为十人，并且只招收社会地位不高的人家的子弟。明算科科举及第以及学数学的人又只能得到很低的官职，如国子博士是正五品上，而算学博士却是品位最低的从九品下，算学博士与助教也只能拿到最低的月俸，因此“士族所趋唯明经、进士二科而已”，“明经”和“进士”仍然是多数知识分子追求的目标。 贞观政要卷七。 新唐书卷四六百官志。 旧唐书卷四四职官志。 唐会要卷六六。 通典卷十三选举。算经十书唐代国子监算学馆采用
6、的教材，是由国家统一编订的。据旧唐书李淳风传载：初唐时，“太史监候王思辩表称五曹、孙子理多踳驳，淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注五曹、孙子十部算经。书成，高宗令国学行用”。唐会要广文馆条则称，显庆元年（656）十二月十九日尚书左仆射于志宁等奏置，“令习李淳风等注释五曹、孙子等十部算经，分为二十卷行用”。李淳风曾任朝议大夫、将士郎、承务郎、轻车都尉、太史丞、太史令、秘阁郎中等官职，著有晋书和隋书中的天文志、律历志、五行志，以及典章文物志，乙巳占，秘阁录，法象志等。据新旧唐书和宋史等史籍记载，李淳风等编订和注释的十部算经，有周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、五曹算经、夏侯阳
7、算经、张丘建算经、五经算术、缀术和缉古算经，后世称为“算经十书”。后来北宋元丰七年（1084）秘书省刻印算书时，缀术已经失传，因而只刻印了九部，并且据考证，其中夏侯阳算经并非原著，而是唐代中期的韩延算术。由于此书卷上第一章引用了夏侯阳的一句话而被误认为夏侯阳算经。南宋嘉定六年（1213），鲍澣之在福建汀州学校主持翻刻北宋本九部算经时，又补入从杭州七宝山宁寿观所藏道书中发现的徐岳数术记遗一卷，并且辗转流传到现在。1963年中华书局出版钱宝琮校点本算经十书。现在有传本的算经十书每卷的第一页上都题有“唐朝议大夫、行太史令、上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释”字样，实际上只有周髀、九章、海岛、张丘建和五经算
8、术五种还保留有李淳风等的注释，并且已非全貌，其他几种都已失传了。在李淳风等关于算经十书的校订和注释工作中，就天算内容而言，其周髀算经注水平较高，特别是修正了经文和赵爽、甄鸾注中的一些缺陷，作出了较大贡献。例如，根据实际观测，指出周髀等古代天算家认为南北相距千里、日影长度相差一寸的传统说法不符合实际情况，据此推算得出的天文数据自然也是错误的；提出用两根标竿（古人称为“表”）测量时，应根据地势高低不同对日高公式作适当的修正并提出了相应的计算方法；指出赵爽所修改的二十四节气八尺高表的日影长度，用等差级数计算也与实际不合；逐条校正了甄鸾对赵爽勾股圆方图注的种种误解，这对于后世读者有很大帮助。李淳风等对
9、其他算经的注释有不少值得称道之处，如在九章算术“少广章开立圆术”中，引用了祖暅关于球体积计算的研究成果，保存了珍贵的史料。缀术失传之后，幸有李淳风等的记述，才使后人能够了解到祖氏父子的球体积公式和祖暅公理等中国数学史上的重要成就。对海岛算经的注解，则详细指明了解题中的演算步骤，在一定程度上为当时及后人的学习和研究提供了方便。李淳风等人的注释工作也存在不少缺点，例如，赞扬祖冲之圆周率“更开密法”，而没有充分认识到刘徽割圆术的重要意义，认为“徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也”；在九章算术有关圆面积的问题答案下，添加“按密率”计算所得答案，结果使后来不少人误认为“约率”22/7 是祖冲之的“密率”；总
10、的来说，李淳风等人对算经十书进行系统的整理和注释，这些算书又被采用为数学教材，从而使这些反映唐代以前中国古代数学发展情形的最重要的原始文献得以流传至今。 旧唐书卷七九李淳风传。 唐会要卷六五。 九章算术方田章圆田术李淳风等注。缉古算经与三次方程唐代立于学官的十部算经中，王孝通缉古算经是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通主要活动于六世纪末和七世纪初。他出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，隋朝时以历算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做过算学博士（亦称算历博士），后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。唐武德六年（623），因行用的傅仁均戊寅元历推算日月食与实际天象不合，与吏部郎中祖孝孙受命研
11、究傅仁均历存在的问题，武德九年（626）又与大理卿崔善为奉诏校勘傅仁均历，驳正术错三十余处，并付太史施行。王孝通所著缉古算术，被用作国子监算学馆数学教材，奉为数学经典，故后人称为缉古算经。全书一卷（新、旧唐书称四卷，但由于一卷的题数与王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十题。第一题为推求月球赤纬度数，属于天文历法方面的计算问题，第二题至十四题是修造观象台、修筑堤坝、开挖沟渠，以及建造仓廪和地窖等土木工程和水利工程的施工计算问题，第十五至二十题是勾股问题。这些问题反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要。王孝通在上缉古算经表中说：“伏寻九章商功
12、篇有平地役功受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭邪之法，凡二十术，名曰缉古。”这段话清楚地说明了他写作本书的目的和研究成果。缉古算经涉及到立体体积计算、勾股计算、建立和求解三次方程x3ax2bxA（a、b 和A，非负），建立和求解双二次方程x4ax2A（a、A，为正，这是一种特殊形式的四次方程）等数学内容。这类问题与解法大多相当复杂，就当时数学水平而言是相当困难的，因此，在国子监算学馆要学习三年，学习年限仅次于祖氏父子的缀术。例如该书第三题，假如从甲
13、、乙、丙、丁四县征派民工修筑河堤，这段河堤的横截面是等腰梯形，已知两端上下底之差，两端高度差，一端上底与高度差，一端高度与堤长之差，且已知各县出工人数，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距离、负重运输效率和筑堤土方量，以及完工时间等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤体积）和这段河堤的长度、两端高度、两端上下底宽度，以及各县完成的堤段长度等。前两个问题是比较简单的算术问题，后两个问题则要经过较复杂的推导和几何变换归结为建立和求解形如x3ax2bxA 的三次方程。在缉古算经第十五题至二十题等属于勾股算术的问题中，王孝通还创造性地把勾股问题引向三次方程，并与代数方法结合起来，扩大了勾
14、股算术的范围，发展了勾股问题的解题方法。在中国数学史上，缉古算经是我国现存最早介绍开带从立方法的算书，它集中体现了中国数学家早在公元七世纪在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，虽然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圆锥曲线的图解法，一直到十三世纪意大利数学家菲波那契才有了三次方程的数值解法，这比王孝通晚了六百多年。王孝通对自己的研究成果十分得意。他在上缉古算经表中批 王孝通：上缉古算经表，钱宝琮校点算经十书，中华书局1963 年版。评时人称之精妙的缀术，“曾不觉方邑进行之术全错不通，刍甍方亭之问于理未尽”，由于缀术已经失传，王孝通的说法是否正确，已无从查考，但想来恐有失
15、偏颇。他还宣称，“请访能算之人考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金”，这又未免有些过于自信。以后，宋元数学家创立了天元术、四元术和高次方程数值解法等，取得了更加辉煌的成就。二次插值法二次插值法（又称二次内插法）的创立，是隋唐数学的又一项重大成就。插值法是根据两个自变量的已知函数值求这两个自变量之间各自变量对应函数值的近似计算方法。这种方法是很有实用价值的。例如，在天文观测中，人们不可能每时每刻都进行观测，因此只能得到日月五星某些时刻在天球上的位置。利用这些观测记录推算日月五星在其他时刻的位置，就要用到插值法，这对于天文计算特别是日月交食的推算是十分重要的。实际上在周髀和九章中就已有了一次插值（或称线性插值）公式。东汉末天文学家刘洪制订乾象历，为计算月球在近地点后ns 日的共行度数，采用了一次插值公式：f（ns）f（n）s，其中n 为月球在近地点后运行的整日数，f（n）为对应的月球位置函数，0s1，f（n1）f（n）。此后，曹魏杨伟、姚秦姜岌、刘宋何承天、南齐祖冲之等各家历法计算月行度数时也都采用了这种算法。随
