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1、 1 1第17讲 圆锥曲线的方程和性质一、复习目标1、能根据条件熟练地求出曲线的方程。2、进一步掌握圆和三种圆锥曲线的定义、方程和简单的几何性质。3、理解圆和椭圆的参数方程。二、课前热身1若，则方程所表示的曲线必定不是（ ）（A）直线 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线2以椭圆的中心为焦点，右准线为准线的抛物线与椭圆的左准线交于A、B两点，则的值是（ ）（A） （B） （C） （D）3动点P在椭圆上运动，线段OP长度的最大值是（ ）（A）1 （B）2 （C） （D）4已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点MN的中点的横坐标为，则此双曲线方程是 5点A的坐标为，F为抛物线的
2、焦点，P在抛物线上移动，若取最小值，则点P的坐标为 三、例题探究例1已知A、B是椭圆上的点，是右焦点且，AB的中点N到左准线的距离等于，求此椭圆的方程。例已知双曲线（）的右准线与一条渐近线交于点P，F是双曲线的右焦点：（1）求证：；（2）若且双曲线的离心率，求双曲线的方程；（3）延长FP交双曲线左准线和左支分别为M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率例(选讲)抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出。今有抛物线（），一光源在点M（）处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的
3、对称轴的方向射出，途中遇到直线：上的点N，再反射后又射回到点M（1） 设P、Q两点的坐标分别为，证明：；（2） 求抛物线的方程；（3） 试判断在抛物线上是否存在一点R使该点与点M关于PN所在直线对称？若存在请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由。y QNOPML 四、方法点拨1.例1运用了椭圆的两种定义来解决，椭圆两定义都是椭圆上任意一点P到焦点的距离来描述的，这两种定义能够对一些距离进行相关的转化、简化解题过程。因此在解答时遇到涉及曲线上点到焦点的距离时应该考虑是否能够使用椭圆的定义求解。2. 例2用待定系数法求双曲线的标准方程，一定要抓住题设所给的独立条件建立之间的等量关系，再利用运用方程
4、的思想来求解。3. 例设PQ是过抛物线焦点F的一条弦，若P（），Q（）且PQ的倾斜角为 则有以下结论：， 冲刺强化训练（17）班级姓名 学号 日期月日1方程所表示的曲线是（ ）A圆 B椭圆上半部分 C双曲线的一支 D抛物线2 椭圆的两焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率为（ ） A B C D3 椭圆的一个焦点是（2，1），相应准线方程是，椭圆的短轴长为，则椭圆的另一个焦点为（ ） A B（）CD（6，5） 4焦点在轴上，以轴为准线，且到点最近距离为的一个抛物线的方程是（ ）A B C D 5是双曲线（）的两个焦点，P为双曲线上一点，且的面积为1，则的值是
5、 6P在椭圆上运动，分别在两圆运动，则的最大值为 ，最小值为 抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上,它的准线过双曲线的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为（），求抛物线与双曲线的方程。8已知抛物线C：的顶点为O，过点（）且平行于向量的直线与抛物线C交于A、B两点，当实数变化时：（1） 求证：是一个与无关的常数；（2） 若，求的最小值。9已知椭圆为圆心，以为半径作圆，过点作圆的两条切线，设切点分别为两点。（1） 若过两个切点的直线恰好经过点时，求此椭圆的离心率；（2） 若直线的斜率为-1，且原点到直线的距离为，求此时的椭圆方程（3） 是否存在椭圆，使得直线的斜率在区间内取值？若存
6、在，求出椭圆的离心率的取值范围；若不存在，请说明理由。第17讲圆锥曲线的方程和性质【课前热身】1D（提示：当时，曲线为两条平行于轴的直线；当时，曲线为圆；当时，曲线为双曲线；当且时，曲线为椭圆，故不可能为抛物线。）2C 3B（提示：，即，椭圆的下顶点与O点重合，则OP长度的最大值即为长轴的长。）4A5（提示：由定义得此时得。）如图所示：【例题探究】例1略解：解析如图所示： O BNyx设为左焦点，连结则根据椭圆的定义有：再设A、B、N三点到左准线的距离分别为由梯形中位线定理，有，而已知，得离心率，则椭圆方程为例2略解：解析（1）右准线为，由对称性不妨设渐近线为，则，又，又（2）的长即到的距离，
7、即又故双曲线的方程为（3）PF的方程为又左准线为又M是PN的中点，N在双曲线上，即，解得即例3解析（1）由抛物线的光学性质知光线PQ必经过抛物线的焦点F（）当直线PQ的倾斜角不为时，设PQ的方程为，由式得，将其代入抛物线方程中，整理得由韦达定理得.当直线PQ的倾斜角为时，将代入抛物线方程，得同样可以得到(2)因为光线QN经直线反射后又射向M点，所以MN与QN关于直线反射对称，设点M（）关于的对称点为，则 解得 直线QN的方程为点纵坐标又由题设知P点的纵坐标，且由（1）知得P=2，所以抛物线的方程为(3)将代入，得，故P点坐标为（）；将代入直线，得，故N点坐标为（）由N、P两点坐标得直线PN的方
8、程为设M点关于直线PN的对称点则 解得 将代入抛物线方程，原式成立。故抛物线上存在一点与点M关于直线PN对称。【强化训练17】1C2、A3、D 4、C 51 6最大值6、最小值27解：由条件知，双曲线焦点在轴上，抛物线开口向右，所以抛物线方程为，因为在抛物线上，所以所以P=2，所以抛物线方程为。因为抛物线的准线过双曲线的焦点，所以，即，又双曲线过点所以，由得故双曲线方程为8解：（1）由题设，直线AB的方程为，由，得设，则，为常数。（2）设，由得，由于，得，且，。9(1) 圆，设，则切线，都过点，；因此直线方程就是过点、的直线。又直线过点，代入解方程可得： ，（2）直线斜率为，原点到直线的距离为即，解得，所求椭圆方程为：（3）由题意若存在，则有，即，得
