小学奥数--排列组合教案

《小学奥数--排列组合教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数--排列组合教案（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、-小学奥数-排列组合教案加法原理和乘法原理排列与组合:熟悉排列与组合问题。 运用加法原理和乘法原理解决问题。在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题:问题一：从 A 地到 B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有 4 班，汽车 有 3 班，轮船有 2 班。则从 A 地到 B 地共有多少种不同的走法. 问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有 3 条道路如以下图。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法.解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。 加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，在第N类方法中有

2、mn种不同的方法，则完成这件工作共有Nm1m2m3mn种不同方法。运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同方法中的具体方法，互不一样(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于*一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经历。乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，完成第N个步骤有mn种方法，则，完成这件工作共有m1m2mn种方法。运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联

3、系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。这两个根本原理是排列和组合的根底，与教材联系严密如四下搭配的规律，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。运用两个原理解决的都是比拟复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。【例题一】每

4、天从到去，有 4 班火车，2 班飞机，1 班汽车。请问：每天从到去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法. 【解析】运用加法原理，把组成方法分成三类：一类乘坐火车,二类乘坐飞机,三类乘坐洗车.解:4+2+1=7(种)【例题二】用1角、2角和5角的三种人民币每种的数没有限制组成1元钱，有多少种方法.【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：只取一种人民币组成1元，有3种方法：101角；52角；25角。取两种人民币组成1元，有5种方法：15角和51角；一2角和81角；22角和61角；32角和41角；42角和21角。取三种人民币组成1元，有2种方法：15角、12角和31角的；15角、22角和11角

5、的。解:所以共有组成方法：3+5+2=10种。【例题三】在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个.【解析】运用加法原理，把组成的三位数分为九类：十位是9的有9个，十位是8的有8个，十位是1的有1个.解: 共有：1+2+3+9=45(个)【例题四】各数位的数字之和是24的三位数共有多少个.【解析】一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+6； 24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：由9、9、8三个数字可组成3个三位数：998、989、899；由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、

6、789；由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。解:所以组成三位数共有：3+6+1=10个。【例题五】有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7和8厘米的细木条假设干，从中选取适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形.【解析】围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第三边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。这道题的计数比拟复杂，需要分层重复运用加法原理。根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类：第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长包括三根等长的。由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5

7、、6、7、8厘米，根据三角形腰长，第一大类又可以分为8小类，三边长依次是：腰长为1的三角形1个：1、1、1。腰长为2的三角形3个：2、2、1；2、2、2；2、2、3。腰长为3的三角形5个：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。腰长为4的三角形7个：4、4、1；4、4、2；4、4、7。腰长为5的三角形8个：5、5、1；5、5、2；5、5、8。同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。第一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+84=48个。第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类最长边不可能为是3

8、厘米、2厘米、1厘米：最长边为8厘米的三角形有9个，三边长分别为：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。最长边为7厘米的三角形有6个，三边长分别为：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。最长边为6厘米的三角形有4个，三边长分别为：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。最长边为5厘米的三角形有2个，三边长分别为：5、4、3；5、4、2。最长边为4厘米的三角形有1个，三边长为：4、3、2。第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22个。所以，这一题共可以围成不同的三角形：48

9、+22=70个。【例题六】一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙.【解析】要求“最多多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开场考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试9次如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把钥匙，不用再试；同理，第2把钥匙最多要试8次；第9把锁最多试1次，最好一把锁不用试。解: 最多试验次数为：9+8+7+2+1=45次。【例题七】如图,从甲地到乙地有三条路,从乙地到丙地有三条路,从丙地到丁地有四条路,从甲地到丙地有二条路。问：甲地到丁地共有多少种走法.乙甲丙丁【解析】从甲地到乙地的走法分两大类：一大类从甲地直接到

10、达乙地，二大类是经过乙地和丙地到达丁地，用加法原理。第二大类中，从甲地到丁地走法分三步，第一步，从甲地到乙地，第二步，从乙地到丙地，第三步，从丙地到丁地，用乘法原理。、第一大类从甲地到丁地有2条路，用加法原理有2种走法。、第二大类从甲地到丁地分三步完成，用乘法原理。第一步，从甲地到乙地，有3条路，用加法原理有3种走法。第二步，从乙地到丙地，有3条路，用加法原理有3种走法。第三步，从丙地到丁地，有4条路，用加法原理有4种走法。根据乘法原理，第二大类共有33436种走法。、用加法原理，从甲地到乙地共有23638种走法。解：2+33438种【例题七】*人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2

11、种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法.【解析】运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：第一步：选汤有2种方法。第二步：选荤菜有4种方法。每种选汤方法对应的都有4种选荤菜的方法，汤和荤菜共有2个4种，即8种不同的搭配方法。第三步：选蔬菜有3种方法。荤菜和汤有8种不同的搭配方法，每种搭配方法，对应的都有3种选蔬菜的方法与其二次搭配，共有8个3种，即24种不同搭配方法。如以下图所示解：共有不同的买法：243=24种。【例题八】数学活动课上，教师要求同学们用 0、1、2、3 这四个数字组成三位数，请问： 1可以组成多少个没有重复数字的三位数. 2可以组成多少个不相等的三位数.【解析】组成没有重复数字的三

12、位数要求千位、十位、个位上的数字不同，数位之间是互相联系的，用乘法原理。完成没有重复数字的三位数的组成，分三步。第一步，看千位有多少种放法，0不能放首位，1、2、3任一个都可以放，有3种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字千位放了一个，还剩三个，有3种放法。第三步，看个位有多少种放法，四个数字千位、十位各放了一个，还剩二个，有2种放法。解： 332=18个不相等的三位数，可以看出各数位上的数字是能重复的。要完成数的组合应该分三步：第一步，看千位有多少种放法，0不能放首位，1、2、3任一个都可以放，有3种放法。第二步，看十位有多少种放法，四个数字都可以放，有4种放法。第三步，看个位有多少种

13、放法，四个数字都可以放，有4种放法，有4种放法。解：2344=48个【例题九】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在以下条件下有多少种站法.1七个人排成一排； 2七个人排成一排，小新必须站在中间.3七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.4七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.5七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.6七个人站成两排，前排三人，后排四人.7七个人站成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。【解析】1七个人排成一排要有序的分步进展，第一步，七个人每人都可以站第一位，7选7叫全选，有7种选法，也就是完成七个人排成一排的第一步。第二步，七人已选出一人站到第一位，

14、还剩六人，有6种选法。同理，第三步有5种选法。第四步有4种选法。第五步有3种选法。第六步有2种选法。第七步有1种选法。解：根据乘法原理得：76543215040种注：用排列公式写作：种。2确定小新站中间，只要考虑六人站一排的排列问题。只需排其余6个人站剩下的6个位置。分六步，第一步6种选法、第二步5种选法、第三步4种选法、第四步3种选法、第五步2种选法、第六步1种选法。解：根据乘法原理得：654321720种注：用排列公式写作：种.3先确定中间的位置站谁，有2种选法。再排剩下的6个位置。解：根据乘法原理得：65432121440种注：用排列公式写作：2=1440(种)4先排两边，再排剩下的5个

15、位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置如图可知，小新和阿呆站两边位置是2选2，有212种选法。其余五个位置站法：第一位5种选法、第二位4种选法、第三位3种选法、第四位2种选法、第五位1种选法。其余5人所站位置小新和阿呆所站位置2112435解：根据乘法原理得：5432121240种注：用排列公式写作： (种)5先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，也就是边上的两个位置5人去站，第一个位置有5种选法，第二个位置有4种选法，根据乘法原理得：5420种。再排剩下的5个人，有54321120种。解：根据乘法原理得：201202400种注：用排列公式写作：种.6七个人排成一排时，7个位置就是各不一样的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不一样的，所以此题实质就是7个元素的全排列解：根据乘法原理得：765432