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1、层次分析法（ Analytic Hierarchy Process ，简称 AHP ）是由美国运筹学家托马斯 塞蒂于 20 世纪 70 年代提出的一种新的系统分析方法， 是一种解决多目标复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。 这种方法适用于结构较为复杂、 决策准则较多而且不易量化的决策问题。它将各决策因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析、决策、预测或控制事物的发展提供可比较的定量依据。 由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，世界范围得到重视，目前已广泛应用在各个领域。很快在层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相
2、互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。 层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（ i）建立递阶层次结构模型；（ ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（ iii ）层次单排序及一致性检验；（ iv ）层次总排序及一致性检验。下面分别说明这四个步骤的实现过程。1.1递阶层次结构的建立与特点应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。 在这个模型下， 复杂问题被分解为元素的组成部分。 这些元素又按其属性及关系形成若干层次。 上一层次的元素作为准则对下一
3、层次有关元素起支配作用。 这些层次可以分为三类：（ i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。（ ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。（ iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关， 一般地层次数不受限制。 每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。本例只需要两层就可以完成1.2
4、构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系， 但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时， 遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。 此外，当影响某因素的因子较多时， 直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、 顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1 千克的石块砸成n 小块，你可以精确称出它们的重量，设为w1 , wn ，现在，请人估计这 n 小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各
5、小石块的重量） ，此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。设现在要比较 n 个因子 X x1 , , xn 对某因素 Z 的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？ Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi 和 x j ，以 aij 表示 xi 和 x j对 Z 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A (aij ) n n 表示，称 A 为 ZX 之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵） 。容易看出，若 xi 与 xj 对 Z 的影响之比为 aij ，则 x j 与 xi 对 Z 的影响之比应为 a ji1。aij定
6、义 1若矩阵 A(aij )nn 满足（ i） aij0 ，（ ii） a ji1 （ i, j1,2, , n ）aij则称之为正互反矩阵 (易见 aii1 ， i 1, n )。关于如何确定 aij 的值， Saaty 等建议引用数字19 及其倒数作为标度。下表列出了19标度的含义：标度含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4， 6，8表示上述相邻判断的中间值倒数若因素 i 与因素 j 的重要性之比为aij ，那么因素 j 与因素 i 重
7、要性之比为 a ji1。aij从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用19 标度最为合适。最后，应该指出， 一般地作 n( n 1) 次两两判断是必要的。 有人认为把所有元素都和某2个元素比较，即只作 n1个比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行n( n 1) 次比较可以提供更多的信息， 通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的2排序。1.3层次单排序
8、及一致性检验判断矩阵 A 对应于最大特征值max 的特征向量 W ，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰， 较客观地反映出一对因子影响力的差别。 但综合全部比较结果时， 其中难免包含一定程度的非一致性。 如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵 A 的元素还应当满足：aij a jkaik ，i, j ,k1,2, n（ 1）定义 2满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵A 是否严重地非一致，以便确定是否接受A 。定理1正互反矩阵A 的最大特征根ma
9、x必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A 的其余特征值的模均严格小于max。定理 2若 A 为一致矩阵，则（ i） A 必为正互反矩阵。（ ii ） A 的转置矩阵 AT 也是一致矩阵。（ iii ） A 的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank ( A) 1（同样， A 的任意两列也成比例）。（ iv ） A 的最大特征值max n ，其中 n 为矩阵 A 的阶。 A 的其余特征根均为零。（ v）若 A 的最大特征值max 对应的特征向量为 W( w1 , , wn )T ，则 aijwi ，w ji , j 1,2, , n ，即w1w1w1w1w2wnw2w2w2Aw1
10、w2wnwnwnwnw1w2wn定理 3 n 阶正互反矩阵A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根maxn ，且当正互反矩阵 A 非一致时，必有maxn 。根据定理 3，我们可以由max 是否等于 n 来检验判断矩阵 A 是否为一致矩阵。 由于特征根连续地依赖于 aij，故 max 比 n 大得越多， A 的非一致性程度也就越严重，max 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X x1, xn 在对因素 Z 的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（ i）计算一致性指标CICIm a x nn 1RI 。对 n
11、 1, ,9 ， Saaty 给出了 RI 的值，如（ ii ）查找相应的平均随机一致性指标下表所示：nRI123456789000.580.901.121.241.321.411.45RI 的值是这样得到的， 用随机方法构造500 个样本矩阵： 随机地从19 及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值max ，并定义RI maxn 。n1（）计算一致性比例CRCRCIRI当 CR0.10 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。1.4 求各因素的相对权重各因素的相对权重 即各层次中所有因子对于其所在层次评价目标的重要性得分，也就是要计算出判断矩阵最大特
12、征根对应的特征向量，这是层次分析法的一个关键问题。应用层次分析法给出的层次中各因素排序权值只是表达某种定性的概念，判断矩阵本身有相当的误差范围，因此并不需要追求较高的精确度。本例采用较为简便的几何平均法来计算判断矩阵的近似特征向量，并且具有足够的精度，其步骤如下：1） 对构造的判断矩阵进行按列归一化，得归一化矩阵B2） 检验一致性指标3） 对矩阵 B 按行求和，并转置，得到一行n 列矩阵 W.4） 对 W矩阵进行归一化，即为所求特征向量 也就是各因素对评价目标的相对权重!详细程序：clear all;a =11141;11241;11/2153;1/41/41/511/3;111/331;%判断矩阵ax,y=eig(a);% 求出特征值和特征向量Jmax=max(max(y)% 求出最大特征值N,M=size(a);% 测试矩阵a 的长度和宽度RI=0 0 0.58 0.90
