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1、拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结 为用罗尔定理，证明的关键是给出一个辅助函数。怎样构作这一辅助函数呢？给出两种构造辅助函数的去。罗尔定理：函数 满足在a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点J 使 f( )=o (如 图1)。拉格朗日定理：若f(x)满足在a,b上连续，在(a ,b)内可导，贝恠(a , b)内至少存在_ ，使琵 (如图2).比较定理条件，罗尔定理中端点
2、函数值相等，f，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为：1.首先分析要证明的等式:/也& fl(1)则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点，使f( t就可以了fib)-f la* * t由 ：；一：；：有，f(b)-tb=f(a)-ta 分析式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx 在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在a.b上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点，使F。( )=0。也就是fg 二f( )-t=0，也即f( )=t，代人(1 )得结论2.考虑函数f5腐 几T! 附)0/L-) if我们知道其导数为卜 J *戸J- /0F b - (i I/Cai d I且有 F(a)=F(b)=O.f(4t= /O)作辅助函数J Jb Ja 1 ，该函数F(x)满足在a , b是连续，在(a , b)内可导，且f F根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点，使 F回a0l- tf(b f(a) - 0l从而有凡一结论成立.
