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1、5.2有界变差函数教学目的本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的Jordan分解定理.教学要点有界变差函数的概念，变差函数的性质,Jordan分解定理.定义1设/是定义在区间。上上的实值函数对a,b的任一分割p=xly;=0,其中兀笃满足a=x0-xM=b,作和式：与(心，J=J-/(%)|1=1称兮(心,心)为/关于分割耳驚的变差.令?(/)=supP7(可,x”)：心,x”是0,b分割.称说/)为/在S，b上的全变差.若说刀+s,则称/是a,b上的有界变差函数.aaa,b上的有界变差函数的全体记为ya,b.例1区间a,可上的单调函数是有界变差函数.事实上，不妨设/在a,b上是单调增
2、加.则对a,b的任一分割兀二，我们有勺(xo,-x)=tlAxJ-(/(x,)-/(石_J)=f(b)-1=11=1因此r(/)=f(p)-f(a).所以feVa,b.a例2若/在a,b上满足Lipschitz条件：|/(i)-/(2)|0为一常数.则/是a,b上的有界变差函数.证明对阪方的任一分割雋，我们有5(X。,X”)=亡|/(xf)-/(x,-1)|X|-兀_12=11=1n=工Mg_)=M(b-a).2=1因此7(f)5M(ba)所以fVa.b.a#卜而的例子表明连续函数不一定是有界变差函数.例3设/（X）=1xsinx若0xV作0JL的分割兀二使得x0=o,x=1,x,=o?-/+
3、r1,i=i,/-1.心）=工n-1E=1=111+(n-i-1)+(n-i)n+22丿(令=n-i)11+(-1+-to+-22丿w-2Iy台优+1)龙令ms知道如）=+s.因此/在0J不是有界变差函数.a定理2有界变差函数貝有如卜性质：(i) .若feVa9b,则/是有界函数.(ii) .若/wyci,b,aeR1,则afgya,b,并且九z刀|a|r(/).aa(iii) .若f9geVa,b,则f+geya9b,并且V(f+g)V(刀+?.(1)(iv) .若f,geya,b，则fggVa,b(v) 若feya,b,则对任意c,avcvb,成立?(刀=?(r)+(?)证明我们只证明(i
4、ii)和(v),(i),(ii)和(iv)的证明留作习题.对七上的任一分割耳二，我们有n(X。，忑)=工y(xJ+g(xJ-/(%)-g(XM)|t=i|/()-/(-i)|+fkg-&(%)|1=11=1级刀+”(g).因此f+g是d,b上的有界变差函数，并且(1)式成立故(iii)得证.往证(v)成立对a,c的任一分割石冷和c,刃的任一分割x；爲，将它们合并后得到Q,b的一个分割a=xQ-xn=c=Xqx；=b.我们有兮(况,)+兮(对,X；)=兀)-/(%)+|/(x；)-/(X；.!)|!=11=1=(x0,-,xj(n.分别对a,c的分割和cQ的分割取上确界得到?(刀+7(/)0,存
5、在仪上的一个分割兀雋，使得3%,耳)?(/)_.设心_1CXk.则Xo，Xw，Xqi，c和c,Xjt,X”分别是d,c和c,可的分割.注意到在兀：厶中增加一个分点C后关J：新的分割的变差不会减小.因此我们有b?(/)5(,x”)0的任意性得到?(/)?(/)+?(/).(4)综合(3),(4)两式得到C)式因此结论(V)得证设/是Q,刃上的有界变差函数.则对任意xeci,b,由定理2(v)知道/也是a,x上的有界变差函数.因此必(/)是a,列上的实值函数，称Z为/的变差函数.由定理a2(V)容易知道莎(刀是单调增加的.a定理3(Jordan分解定理)/是a,b上的有界变差函数当且仅当/可以表成
6、f=g-h,其中g和力是c,b上的单调增加的实值函数.证明由例1和定理2,充分性是显然的.必要性设/是d,b上的有界变差函数.令1X1gM=了(？(刀+/),h(x)=-(r(n-/(x).则f=g-h.当心X时，利用定理2(v),我们有金)-/(x2)vf(x19x2)f(/)=r(n-z(n-因此?(n+/(xi)nn+/(x2).这表明g(X2).即g是单调增加的类似可证力也是单调增加的上推论4设/是a,b上的有界变差函数.则(1) f的不连续点的全体至多是一可数集-(2) /在a,b上是Riemann可积的.(3) /在上上几乎处处可导并且广是Lebesgue可积的.证明由5.1单调函
7、数的相应性质直接可得.由定理3,每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数之差.但这种分解显然不是唯一的.例如，若f=gh是一个这样的分解，则对任意常数ctf=(g+c)-(h+c)也是/的一个分解为避免这种不唯一性，我们令1X1Xp(x)=(？(/)+-/(d),n(x)=-/(x)+/(a).ZrZr则p(x)和?(x)都是单调増加的，并且满足/(X)-f(ci)=p(x)-n(x).(6)(/)=P(x)+n(x)a我们称(6)式为f的标准分解分别称p(x)和n(x)为/的正变差函数和负变差函数.定理5设/是a.b上的有界变差函数.则必(/)在a,b上是右连续的(或左连续的)a当且仅当/
8、在a,6上是右连续的(相应地，左连续的).证明我们只证右连续的情形.左连续的情形证明是类似的.必要性设必(刀在a,6上是右连续的，xoea,b).则对任意x0xb,利用定理a2(v)t我们有#|/W-/(o)|=Uf(x0,x)0,存在50,使得当XG(X0,X0+)时，|/(x)-/(xo)|8.取区间xo,xo+8的一个分割x0=t0t1-tn=x0+S9使得wAo-h5由于切爲是区间必0+5的一个分割，因此n“+J(8)工|ms)卜7(刀x=2利用(7),(8)两式，我们有qAe-h$A0-h$刀=卩(刀-y(/)|八,)-/(妇)|+一丈|/(切-/a.-i)x=l1=2=+|/Gi)-M)|2于是当xex0/J时，?(/)_pCO=?(/)w”COv2c因此?(刀在X。点是右连续的上小结有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数.它们可以表为两个单调增加的函数Z差.与单调函数一样，有界变差函数几乎处处可导并且Lebesgue可积.与单调函数不同，有界变差函数类对线性运算是封闭的.这在分析中具有重要意义.习题习题五，第4题一第14题.#
