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1、 实变函数实变函数作业参考答案一判断题1对; 2错; 3对;4对; 5错; 6对; 7错; 8对; 9对; 10.对; 11.对; 12.错。二1证明:证明:直接的用定义,证明左边包含右边,右边包含左边。2试找出使和之间一一对应的一种方法。证明:令,做,使得,其它处, 三证明题1. 设是上几乎处处有限的可测函数列,而几乎处处收敛于有限函数,则对任意的,存在常数与可测集,使在上,对一切,有。证明:直接利用鲁津定理。2. 证明:证明是开集,事实上,对任意,则,由连续函数的局部保号性,存在,使得对一切的,有,即,所以x是内点,从而是开集。3. 设在可积,则对任何,必存在上的连续函数,使得证明:教材第
2、121页例1。4. 设在上,且几乎处处于上成立, 试证在上几乎处处成立。证明:利用黎次定理,由在上,得到存在子列使得几乎处处成立,在利用控制性,所以在上几乎处处成立。5. 设是的可测子集,假定中的任一点至少属于这个集合中的个,证明:必有一个集,它的测度不小于。证明:令,则,同时,在利用反证法,若对所有,有,则,矛盾。6.设在Cantor集上定义函数,而在的余集中长为的构成区间上定义。试证在上可积,并求出积分值。证明:先说明函数的可积性(简单函数的极限),7.设在上,且几乎处处成立, 则几乎处处有收敛于。证明:利用黎次定理,由在上,得到存在子列使得几乎处处成立,在利用单调性,所以几乎处处有收敛于。8. 试从,证明.证明:先验证逐项积分的条件成立,所以9.证明:证明:验证Lebesgue控制定理的条件成立,所以10设,在上可积。如果对于任何有界可测函数,都有证明:在上几乎处处成立。证明:取,则有所以在上几乎处处成立,从而在上几乎处处成立。11. 设为上非负可积函数列,若证明:。证明:反证法,先写出的否定定义,再证明结论成立。12. 证明:。证明:利用,验证逐项积分的条件成立,所以13设是直线上的一个有界集合,则对任意小于的正数,存在的子集,使得证明:令,则连续单调,且,由连续函数的介值性,存在,使得对任意小于的正数,存在的子集,使得第 3 页 共 3 页