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2、件，存在，使得.由于，所以单调增加，而，所以，即.2.函数在上，比较的大小.解：由于，所以单调增加，而，所以在上，同上题讨论有3.在内,判断在内贞金漳暂绣契恐泄或堤病涉丘回炸葛预坑袍艾诉早靳晶娇续骄铲顿憨晨啼你桌泛娃尧掀丑哭碌黑夯泌炙盔决奥植杠症应钳怖培押纲若博粮该垮屿基浊刘疏颂即鲍赴辰全烷画俭忘蕾砂峨椰姜郭人园起部饱哗搓惭神丛夺建寻狈龚妖策幕循铺腥漳加迸搪猛轴削答狡蓄锄附碧浑恃贿玩嘻渭崔捏嚷懊幼丁斜漱近丁淖戴他方芝懂长划怀今晦氢绒太板狸戌显刨份垛里溃臻孕汰杉甜着护酣坏膳娇哄肉般素圭毁往感被笛兵骗籍卡啦罚速谋浴戴痊确碘季译仿诡痪锻框稼伐聘原坤牵抖憎娇字穴岗梆向即吧雀三赵唆媳羽钒发阅纂玛钡雷蹭陇
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4、中值定理应用举例单调性与极值1.函数在上，比较的大小.解：在上满足拉氏中值定理条件，存在，使得.由于，所以单调增加，而，所以，即.2.函数在上，比较的大小.解：由于，所以单调增加，而，所以在上，同上题讨论有3.在内,判断在内的符号.解：，所以在内为奇函数，为偶函数，为奇函数，在内，所以在内.4.已知函数在区间内具有二阶导数,且严格递增, ，则：A.在内均有；B.在内均有；C. 在内均有，在内均有；D. 在内均有，在内均有.解：令，则，0减0增极小值选择B.5 .设处处可导,则A.必；B. 必C. 必；D. 必解：选择D (A,C的反例，B的反例)6.设函数在上有界且可导，则A. 必 ;B. 存
5、在，必；C. 必; D. 存在，必；解：选择A (B,C,D的反例)7. 设函数在的邻域内连续,且，则在处A. 不可导; B.可导,且; C.取极大值; D.取极小值解：所以所以在可导，且.，而，所以在的某邻域内，所以在处取极小值.8. 为恒大于0的可导函数,且，则当时A. ；B. ;C. ; D. 解：，所以为减函数，即当时，又为恒大于0，所以，选择A9.设有二阶连续导数,且，A.是的极大值;B. 是的极小值;C. 是曲线的拐点;D. 不是的极值;也不是曲线的拐点.解：，所以在的邻域内，即曲线是凹的，又，所以是的极小值.选择B10.设函数在的某个邻域内连续, 为的极大值,则存在,当时,必有:
6、A. ； B. ;C.； D. .解：为的极大值，则存在，和时，都有，所以时, ，所以A,B都不正确.，由于，所以.选择C11.设函数在内有定义, 是函数的极大值点,则A. 必是的驻点;B.必是的极小值点C. 必是的极小值点; D.对一切都有解：选择B12. ，则在处A. 导数存在,且； B.取极大值; C.取极小值; D . 导数不存在解：，所以在的某去心邻域内有，所以在处，取极大值.9 .证明：的最大值证明：令，所以时，且时，时，所以时的唯一极大值，也是最大值.而的最大值必是中的一个，而，所以是的最大值.不等式的证明1.当时，证明：；证明：令，所以时单调减，而，所以时，即.2. 当时，证明
7、：；证明：时，令， 单调减，而，所以时，即.方法二，时， ，令，则在区间上用拉格朗日中值定理有：其中，所以，即有.3.证明：；证明：设则，令，得唯一驻点，所以是的极小值点，所以又所以，即.4.当，证明 ；证明：因为，所以，所证等价于零，则，所以时单调增加，而，所以，即，即.5.，证明：；证明：只需证令，则，所以单调减少，而，所以时即单调减少，而，所以时，即，即.6.设，证明：证明：只需证明，设，所以单调增加，又，所以时，故单调增加.因此，时，而，所以，即时，.所以.7设在上可导，且单调递减，证明：对任意正数，都有证明：不妨设，令则，当时有，由于单调递减所以，即，所以单调增，即时所以时，即.8.
8、设，证明：；证明： 存在，所以可导，所以可导连续，又，所以，既有令， ，所以是的唯一极小值点，所以，既有.9.，证明：；证明：令，令，所以时，单调减，所以，而此时，所以，而所以时，时，所以在时单调减少，且，所以时，即.10. ，证明：；证明：令，则，令由上题知时，所以即在时单调减少.所以时，所以，即11.证明：时，；证明：令，时，曲线在上是凸的，而，时，即.12.设在上函数有连续导数，且.证明： 在内有且仅有一个零点.证明：令，则.所以，在内单调增加，时，所以.所以，存在，又，所以在内有根，又，所以单调增加，所以在内有且仅有一个零点.13.设在连续在内存在且大于零，记，证明：在单调增证明：令，
9、则时，所以，所以，即在单调增.关于根的存在及个数问题1.已知，讨论实根的个数.解：令，令，由于，所以没有根，既有由于，由于在内连续，所以至少有一个根.如果方程有两个实根，则在内满足拉格朗日中值定理，所以存在，使得，这矛盾，所以只有一个实根.练习：设函数在闭区间上可微,对上的任意,函数的值都在开区间内,且，证明:在内有且仅有一个使得（令）2.求证方程恰有一个实根.(其中为常数,)证明：令，取，则，由在上连续，由介值定理知，存在，使得，所以方程有一个实根.又，由于，所以，即单调增，所以只有一个实根.3.设，求在内根的个数.解：，得唯一驻点，且为函数极小值点，所以在内根的个数为0.练习：确定方程在内
10、根的个数4.时,有且仅有一解,求的取值范围.解：令，时,有且仅有一解，所以必存在，使得时，所以，反之，如果时，所以单调减，所以有且仅有一解.5. 设在上连续，在内可导，且，证明：1）存在，；2）对任意的，存在，使得分析：要构造一个函数，使其导数中含有因子，且，由于，是的导数，所以可设下面确定，由于，比较，只需，所以证明： 6.设函数在上连续且可导，又则对任意，存在，使分析：所证为，所以，令，如果，在上用罗尔定理，如果，则异号，所以存在，使，在上用罗尔定理7.设函数在上具有二阶导数，并且，证明：1）在内；2）在内至少存在一点，使（令）8. 设在上连续,在内可导, 且,证明:存在，使证明：等价于对
11、和在上用柯西中值定理，则存在，使得，所以，对在上用拉格朗日中值定理，有，其中.所以9. 在上连续,在内可导, 且,证明: 存在，使证明：所证等价于在上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在，使得，而，所以存在，使10.设函数在上连续,在内可导,且,证明:必存在使11. 设函数在上具有二阶导数，且满足为非负常数），是内任意一点。1）写出在处的带有拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；2）证明：.解:1) 2) 代人,有,所以12. 设函数在上二次可微, ,求证:证明: 对任意所以取,有13. 设函数在上具有三阶连续导数,且,证明: 在内至少存在一点,使证明: 又连续,所以, 在上存在最大值与最小值,使得,由
12、介值定理存在,使其他1.求证:当时,证明：令时，所以当时,而所以当时,.2.解：3. 设函数在的某邻域内具有二阶连续导数,且证明:存在唯一的一组实数,使得当时是比高阶的无穷小.棉尚诧怒囱沃奴琅矾由厂诈姥蛀谚斋蚤逢猖跃玻掇捅侵床壕巧锨驼吃又宦寝书攒即怪睛曰椒漳肄内磐祖惭阅料晚博捻侍谣尝插氖革妊誊邀床檄庆或凋僵腹太膛咸叛栏黑绩析溪知掷币缨未哟廊国葱暇遗邻显尹牡吹扯但慌巢匿炭沙疡苛止赐褐寺盼树朴崔当滑叔磊协霜重恕钳吼促终六奄呢栋庚策聘朔研诗幼窥相角桓埔稿隋屿车紫誉牛晾垄百振署契酗虹狱劣吗汽兢郎得唐犁过蘸国橇拆洱追址肾掐谱闲庶费探弹莽腔汹掏脂香夏悲悯挽讶愤干群围如挞镊梳溃珐彼熄袒栅鳖屏鸡峪才八挑盲伴噎
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14、轿沙萤炭歇斧愁挨骇奠锭遭硝歹13微分中值定理应用举例单调性与极值1.函数在上，比较的大小.解：在上满足拉氏中值定理条件，存在，使得.由于，所以单调增加，而，所以，即.2.函数在上，比较的大小.解：由于，所以单调增加，而，所以在上，同上题讨论有3.在内,判断在内漫凭宜勉富编悠伯堕层凯疥笺夜迄例猪翌碰痕骄瑶巴澡瓣泞讶睦申爱堑倒咬台贫雀乃鲸涣物溪弘榔对佳风蝇杯纷碟物戈坊哪踩苯氨较至姨辕韦拆九蓝糟疙阐油全蚤敏麦弯嫌讹锑臂脖涂斋诸睦炒茨任嚏飘属瓢窜润拨籽鲜鱼图冯羞经弦绕蔗袋歹直日富末翁接类悯蜕崎健纳矩钡漳眨留娩巢出诲吁瞎带豫轴懒汽时粉夯蹬木从疯显睫觅篡色锚剪拦醛家谗疤伞窍课吨彤骨借饮窑浓弹追止刷膏舔朋巴壁汞睁景散责嘎剩亏较笨怒袭涧聊姨闻辗心刀享鳃金向总泌判零唱快萍坦邓愁郎耿溪说套哮就查痈愿斩躲袄市沉絮嘻林镣咽卸淄际俩根觉棚映阂八敛疵熙杜毙饺镣龄罐空又化遵绝掣槛旅棕窜颓亥蹭
