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1、 数学破题36计第28计 三角开门 八面玲珑计名释义三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：1.公式多，变换多，技巧多；2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.典例示范【例1】 设a,bR，a2+2b2=6，则a+b的最小值是 （ ）A.-2 B. C.-3 D.【解答】 a2+2b2=6=1. 设(0，2)，则a+b=cos+sin=3cos(-)，其中cos=，sin=，a+b-3，选C.【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.【例2】
2、 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是 .【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见；由条件y2=3x-x2.x2+y2=x2+x2+3x=(x-3)2+.当且仅当x=3时，（x2+y2）max =.你能发现这种解法有什么毛病吗？先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：39+2y2=18. 2y2=-9.显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是:y2=3x-x20，x2-2x0. 得x0,2，而x2+y2=(x-3)2+.令z=(x-3)2+，则当x3时，z为增函数，已求x0,2，故当x=2
3、时，zmax =(2-3)2+= 4，即(x2+y2)max= 4.【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：(x-1)2+y2=1.设，则x2+y2=(1+cos)2+sin2=cos2+2cos+(cos-2)2+.由于cos-1,1,故当cos=1时，(x2+y2)max =+=4.此时，x=2，y=0.【例3】 设抛物线y2=4px(p0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A、B两点，求AB中点的轨迹方程.【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),设过M的直线参数方程为：(t为参数)代入y2=4px：t2sin2-4ptco
4、s+4p2=0 (1)方程(1)有相异二实根的条件是：1,设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2=设AB之中点为Q(x,y)， t=.，消去得：y2=2p(x+p),|cot|1，|y|2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p)(|y|2p).【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：其中P(x0，y0)为定点，是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0，y0)所连有向线段的数量，若M在P
5、上方则t0，反之tu）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？【分析】 求的是C、D建的地方，为了将问题简化，暂不考虑车站D，设法求出从A经过C到B所需最短时间.【解答】 AC=AC=mtanA,CB=AB-AC=l-mtanA从A经过C到B所需时间为 例5题图t=由于，为常数，问题转化为求y=的最小值.y=，令y=0,得时，sinA1.sinA时，y时，y0.故函数y，从而函数t当sinA=时，取得极小值：sinA=，AC=mtanA=，即车站C距A为千米，它与l的长短无关.同理，站D距B为千米.【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.对应训练1已知方程x2+xsi
6、n2- sincot=0()之二根为,，求使等比数列1,，前100项之和为零的值.2设实数对(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求的最小值.3已知圆的方程是x2+y2=1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长.4ABC中，已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.()证明任意交换A、B、C位置y的值不变；（）求y的最大值.5.一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B. 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆
7、的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?参考答案1由条件：,，即等比数列的公比q=2sin，S100=.已知S100=0，(2sin)100=1且2sin1,于是2sin= -1,sin=,(，), =.2圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值，先求的最大值.如图，表示圆上的点(x,y)与定点P(-1,0)连线的斜率,PA，PB为圆C的切线，则，连PC,设BPC=APC=，则tan=, 第2题解图tanBPA=tan2=, 即，从而.3如图所示，有A(1,0),B(-1,0),方程
8、为x2+y2=1，设P(cos，sin)为圆上一点，不妨设P在第一象限，则有Q(-cos,sin).|PQ|=2cos,RtPAB中PBA=,|BQ|=|PA|=|AB| sin=2sin，l=2+2cos+4sin=2+2(1-2sin2)+4sin=5-4(sin)2, 第3题解图当且仅当sin=，即=60(若在四象限则为300)时，lmax=5，此时点P的坐标为.4()y=2+cos Ccos (A-B) - cosC=2+cos Ccos (A-B)+cos (A+B)=2+2cos Acos Bcos C此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.()y=
9、2-cos Ccos (A-B)2 +cos2(A-B),为求y的最大值必须cosCcos (A-B)2取得最小而cos2(A-B)取得最大.cosCcos (A-B) 20，且cos+(A-B)当且仅当时以上两条同时成立.ymax =，此时故ABC为正三角形.5.解法一:如图所示，设OM=x km，则AM=-x，BM=. 总修建费S=2（-x）+4=2+x+3(-x)=2+（+x）+2+2由+x=,得当x=时，S取最小值2+2，此时，AM3.3，BM1.2.故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆，再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时， 第5题解图总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.解法
10、二：如图所示，设OBM=(00，得t， S2+2将t=代入sin+tcos=2，解得= 0arccos AM=-3.3，BM=1.2故Smin =2.数学破题36计第29计 向量开门 数形与共计名释义非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.典例示范【例1】 ,为锐角，且sin-sin=,cos-cos=，求tan(-)之值.【解答】 如图，设A(c
11、os,sin),B(cos,sin)为单位圆上两点，由条件知：0.那么：=（cos- cos,sin- sin）=.|=，|=|=1. 例1题解图OAB中,由余弦定理：cos(-)= cos (-) =.sin(-)=,tan(-)=.【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.【例2】 设a,b,c,dR，证明：ac+bd【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|n|=mn=|m|ncos（m,n）|m|n|. ac+bd.【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几何中又能起作用吗?【例3】 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60，则对角线AC1之长为 .【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行
