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1、.第四讲 旋转专题例题1. 点在同一直线上,点在直线的同侧,直线交于点.1如图,若,则_；如图,若,则_；2如图,若,则_用含的式子表示；3将图中的绕点旋转点不与点重合,得图或图.在图中,与的数量关系是_；在图中,与的数量关系是_.请你任选其中一个结论证明.思路点拨 从特殊到一般,在动态的旋转过程中,有两组不变的关系：,这是解本例的关键.例2.如图1,是等腰直角三角形,四边形是正方形,、分别在、边上,此时,成立1当正方形绕点逆时针旋转时,如图2,成立吗？若成立,请证明；若不成立,请说明理由2当正方形绕点逆时针旋转时,如图3,延长交于点求证：；当,时,求线段的长例3.在正方形的边上任取一点,作交
2、于点,取的中点,连接,如图,易证且.1将绕点逆时针旋转,如图,则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.2将绕点逆时针旋转,如图,则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想,并加以证明.例4.如图,在等边中,点是边的中点,点是线段上的动点点与点不重合,连接.将绕点按顺时针方向旋转角,得到,连接,射线分别交射线、射线于点.1如图,当时,在角变化过程中,与始终存在_关系填相似或全等,并说明理由；2如图,设.当时,有角变化过程中,是否存在与全等？若存在,求出与之间的数量关系；若不存在,请说明理.3如图,当时,点与点重合.已知,设,的面积为,求关于的函数关系式.例5. 将两块全等
3、的直角三角形纸片ABC和DEF叠放在一起,其中ACB=E=90,BC=DE=6,AC=FE=8,点D与边AB的中点重合,将DEF绕着点D旋转1如图1,如果EDF的边DE经过点C,另一边DF与边AC交于点G,求GC的长；2如图2,如果EDF的边DF、DE分别交边BC于点M、N,设CN=x、BM=y,求y关于x的函数解析式,并求它的定义域；3如图3,如果EDF的边DF、DE分别交边AC于点M、N,如果DMN是等腰三角形,求AN的值例6. 已知,直角三角形ABC中,C=90,点D、E分别是边AC、AB的中点,BC=61如图1,动点P从点E出发,沿直线DE方向向右运动,则当EP=时,四边形BCDP是矩
4、形；2将点B绕点E逆时针旋转如图2,旋转到点F处,连接AF、BF、EF设BEF=,求证：ABF是直角三角形；如图3,旋转到点G处,连接DG、EG已知BEG=90,求DEG的面积例7.如图1,点O为正方形ABCD的中心1将线段OE绕点O逆时针方向旋转90,点E的对应点为点F,连结EF,AE,BF,请依题意补全图1；2根据图1中补全的图形,猜想并证明AE与BF的关系；3如图2,点G是OA中点,EGF是等腰直角三角形,H是EF的中点,EGF=90,AB=2,GE=2,EGF绕G点逆时针方向旋转角度,请直接写出旋转过程中BH的最大值例8. 如图1,在ABC中,CA=CB,ACB=90,D是ABC内部一
5、点,ADC=135,将线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE,连接DE1依题意补全图形；请判断ADC和CDE之间的数量关系,并直接写出答案2在1的条件下,连接BE,过点C作CMDE,请判断线段CM,AE和BE之间的数量关系,并说明理由3如图2,在正方形ABCD中,AB=,如果PD=1,BPD=90,请直接写出点A到BP的距离例9.如图1,在ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为01801当BAC=60时,将BP旋转到图2位置,点D在射线BP上若CDP=120,则ACDABD填、=、,线段BD、CD与AD之间的数量关系是；2当BAC=120时,将BP旋转到图
6、3位置,点D在射线BP上,若CDP=60,求证：BDCD=AD；3将图3中的BP继续旋转,当30180时,点D是直线BP上一点点P不在线段BD上,若CDP=120,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系不必证明例10.已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点不与点B重合,连接AD1如图1,当点D在线段BC上时,将线段AD绕点A逆时针方向旋转90得到线段AE,连接CE求证：BD=CE,BDCE2如图2,当点D在线段BC延长线上时,探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系,写出结论并说明理由；3若BD=CD,直接写出BAD的度数例11.如图1,在ABC中,ACB=90,AC=
7、BC,EAC=90,点M为射线AE上任意一点不与A重合,连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D1直接写出NDE的度数；2如图2、图3,当EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,1中的结论是否发生变化？如果不变,选取其中一种情况加以证明；如果变化,请说明理由；3如图4,若EAC=15,ACM=60,直线CM与AB交于G,BD=,其他条件不变,求线段AM的长例12.已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B,连AF,H为AF的中点,连EH,正方形EBGF绕点B旋转1如图1,当F点落在BC上时,求证：EH=FC；2如图2,当点E落在BC上时
8、,连BH,若AB=5,BG=2,求BH的长；3当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时,求的值例13.已知正方形和等腰,按图甲放置,使点在上,取 的中点,连接探索的数量关系和位置关系,并说明理由；将图甲中绕点顺时针旋转得图乙,连接,取的中点,问中的结论是否成立？并说明理由；将图甲中绕点转动任意角度旋转角在到之间得图丙,连接,取的中点,问中的结论是否成立,请说明理由例14.如图,ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DEAB,将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE使BCE180,连接AD、BE,设直线BE与AC、AD分别交于点O、E1若ABC为等边三角形,则的值为1,求AFB的度数；2若A
9、BC满足ACB=60,AC=,BC=,求的值和AFB的度数；若E为BC的中点,求OBC面积的最大值例15.已知,在中,过点的直线从与边重合的位置开始绕点按顺时针方向旋转角,直线交边于点点不与点、点重合,的边始终在直线上点在点的上方,且,连接1当时,如图a,当时,的度数为_；如图b,当时,中的结论是否发生变化？说明理由；2如图c,当时,请直接写出与之间的数量关系,不必证明例16.两个大小相同且含30角的三角板和如图摆放,使直角顶点重合将图中绕点逆时针旋转30得到图,点、分别是、与的交点,点是与的交点1不添加辅助线,写出图中所有与全等的三角形；2将图中的绕点逆时针旋转45得,点、对应点分别为、,如
10、图探究线段与之间的数量关系,并写出推理过程；3在2的条件下,若与交于点,求证：例17.如图1,在中,点为边中点,直线绕顶点旋转,若点,在直线的异侧,直线于点直线于点,连接,1延长交于点如图2求证：；求证：；2若直线绕点旋转到图3的位置时,点,在直线的同侧,其它条件不变,此时还成立吗？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；3若直线绕点旋转到与边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由例18.已知是等腰直角三角形,是边上一动点、两点除外,将绕点按逆时针方向旋转角得到,其中点是点的对应点,点是点的对应点1如图1,当时,是边上一点,且,连接求证：；2如图2,当
11、时,与相交于点当点与点、不重合时,连接,求的度数；设为边的中点,当从变化到时,求点运动的路径长例19.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45角绕点A旋转,角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF设CE=a,CF=b1如图1,当EAF被对角线AC平分时,求a、b的值；2当AEF是直角三角形时,求a、b的值；3如图3,探索EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式,并说明理由例20. 已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点点不与点A、C重合,分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点.1当点P与点O重合时如图1,易证OE
12、=OF不需证明.2直线BP绕点B逆时针方向旋转,当OFE=30时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明.例21. 在ABC中,AB=AC,A=60,点D是线段BC的中点,EDF=120,DE与线段AB相交于点EDF与线段AC或AC的延长线相交于点F1如图1,若DFAC,垂足为F,AB=4,求BE的长；2如图2,将1中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F求证：BE+CF=AB；3如图3,将2中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DNAC于点N,若DN
13、AC于点N,若DN=FN,求证：BE+CF=BECF例22. 在ABC中,AB=BC=2,ABC=90,BD为斜边AC上的中线,将ABD绕点D顺时针旋转0180得到EFD,其中点A的对应点为点E,点B的对应点为点FBE与FC相交于点H1如图1,直接写出BE与FC的数量关系：；2如图2,M、N分别为EF、BC的中点求证：MN=；3连接BF,CE,如图3,直接写出在此旋转过程中,线段BF、CE与AC之间的数量关系：例23.如图1,在菱形ABCD中,AC=6,BD=6,AC,BD相交于点O 1求边AB的长；2如图2,将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中
14、三角板60角的两边分别于边BC,CD相交于E,F,连接EF与AC相交于点G判断AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由；旋转过程中是否存在线段EF最短,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由例24.在RtABC中,A=90,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点,若等腰RtADE绕点A逆时针旋转,得到等腰RtAD1E1,设旋转角为0180,记直线BD1与CE1的交点为P1如图1,当=90时,线段BD1的长等于,线段CE1的长等于；直接填写结果2如图2,当=135时,求证：BD1=CE1,且BD1CE1；3求点P到AB所在直线的距离的最大值直接写出结果例25.在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中,MPN=901如图1,若点P与点O重合且PMAD、PNAB,分别交AD、AB于点E、F,请直接写出PE与PF的数量关系；2将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度045如图2,在旋转过程中1中的结论依然成立吗？若成立,请证明；若不成立,请说明理由；
