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1、2倍长中线与截长补短满分晋级三角形9级全等三角形的典型模型（二）三角形8级全等三角形的典型模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲漫画释义 倍长中线与截长补短知识互联网 教学目的：1掌握倍长中线的条件，学会运用倍长中线构造全等三角形,解决实际问题。掌握截长补短的条件,学会运用截长补短构造全等三角形,解决实际问题。教学重点:判断倍长中线与截长补短的条件,构造全等三角形教学难点：灵活运用倍长中线与截长补短。教学对象：纯熟掌握全等三角形的基本的同窗。教学方略: 自主、合伙、探究 先学后教,当堂训练。简介:此讲义适合全等三角形基本掌握夯实的同窗,让孩子们学会构造全等的
2、同步,可以解决最后的拔高题目。人们互相学习，有不到之处，欢迎批评指正，谢谢题型一：倍长中线思路导航定 义示例剖析倍长中线:即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角.其中，延长使得,则.例题精讲【例1】 已知中,平分,且,求证：.1 先让同窗们讨论解决此题的措施及做法。 让同窗们展示自己的解决方案。【解析】 延长到,使,连接则,，,平分,，,.【教师备选】教师可借用例对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简朴归纳:已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；已知角平分线+高证等腰三角形,如拓展1;已知中线+高证等腰三角形，如拓展2.【拓展1
3、】已知BC中，A平分B，且DBC，求证:AB=AC 1先让同窗们讨论解决此题的措施及做法。让同窗们展示自己的解决方案。【解析】AD平分BC,BD=CADAD，ADB=AC=90AD ACD (SAS)A=AC【拓展2】已知ABC中，ADB,且,求证：AB=AC.1 先让同窗们讨论解决此题的措施及做法。2 让同窗们展示自己的解决方案。【解析】ADBC，且AD所在直线是线段的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故=AC典题精练【例2】 如图,已知中，是边上的中线，延长到,使.给出下列结论:A2A;CD=E;CE=CD；CB平分DC，则以上结论对的的是 【解析】 对的,A=2AC、对的
4、.延长到，使，连接.是的中线,在和中，在和中，F=DCB即CD=2CE，平分DCE.错误.FB=DC,而E是AB边上中线而不是AC的角平分线故ACE和D不一定相等.如图，在ABC中，点、E为边BC的三等分点，给出下列结论：BD=DEEC；AB+EAD；AD+AC2AE;AB+A+AE，则以上结论对的的是 【解析】 点、为边BC的三等分点,D=E=C延长至点M，AE至点N，使得D，E=，连接、CN，则可证明BMED，进而可得B+E2AD,再证明ADNCE,进而可得ADAC2AE,将两式相加可得到AB+AE+AD+AC+AE,即AACAD+AE.均对的【例3】 如图，已知在中，是边上的中线,是上一
5、点，延长交于，求证:.【解析】 延长到，使，连接,，又，,【例4】 在正方形ABCD中，PBD于P,M为QD的中点,试探究P与MC的关系【解析】 延长PM至点N,使PM=M,连结CP、CN、DN.易证PQNMD，PB=QDN,QD=NDMPQDN，又Q=DN 9PBQB=NDC45再证BP DNC (SAS）易证PN为等腰直角三角形，又P=MN,PMC，且=CM.题型二：截长补短思路导航定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段上截取补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长，使得例题精讲【例5】 在中,的平分线交于,，求的大小（但愿杯培训题) 先让同窗们讨
6、论解决此题的措施及做法。让同窗们展示自己的解决方案。【解析】 在上截取，连接，,，,典题精练【例6】 如图,在中,，的平分线交于点求证:.1 先让同窗们讨论解决此题的措施及做法。2 让同窗们展示自己的解决方案。【解析】措施一:(截长）在上截取,连接在和中，,，又, 措施二:（补短）延长到点使得，连接在和中，,，又，措施三:（补短)延长到点使得，连接则有，又， ， AB+D=AC 若题目条件或求证结论中具有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”. 建议教师此题把3种解法都讲一下,以便学生更加深刻理解这种辅助线添加措施【例7】 已知：在中,，求证:1 先让同窗们讨论解决此题的措施及做法。2
7、 让同窗们展示自己的解决方案。【解析】 措施一：在上取一点，使,如图1,在和中，,.,.又,. 措施二：延长到点，使,如图2,.，在和中,，,.【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的措施,一般来证明几条线段的数量关系,常用做辅助线措施有:截长法：过某一点作长边的垂线;在长边上截取一条与某一短边相似的线段，再证剩余的线段与另一短边相等。补短法：延长短边。通过旋转等方式使两短边拼合到一起,证与长边相等。【变式一】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF5，求证:E=+BF.【解析】 延长D到点G,使得DGBF，连接AG由四边形ABCD是正方形得:ADGB=9,ADAB又DBFA
8、DAF(SAS)GAD=B,=AF由四边形CD是正方形得DAB=90DAF+FABDAF+GAD=GAGAE=GFEAF904=45GEAE=45又G=F,E=AEE EA（SAS)EF=E=GDDE=F+D【变式二】正方形BD中,点在CD延长线上，点F在B延长线上，AF4,请问目前、DE、BF又有什么数量关系?【解析】 数量关系为:=FDE.理由如下：在BC上截取BG,使得BG=DF，连接由四边形ABCD是正方形得AD=AG=90,AD又DE=BGAE ABG（SAS)EA=GAB，AE由四边形ABD是正方形得DAB=DGGAB=DAG+EAD=GEAF=GEEF=9045GAF=4又=,=
9、AFEAF GA（A）EF=GF=BFBG=FDE【变式三】正方形AD中,点E在C延长线上，点在C延长线上,A4，请问目前EF、D、BF又有什么数量关系？【解析】 数量关系为:=DEBF.理由如下:在上截取D，使得DG=BF,连接由四边形ABCD是正方形得ADG=AB=90，DAB又=FADG F(S)GAFA，AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90=AGGB=BAF+B=AFAE=GAFEAF=045=5GA=FAE=5又G=F,AAGEAF（SA)E=GEDGD=EB【变式四】正三角形BC中,在B上，F在A上EF6,DB=，BD=12,请问目前EF、E、F又有什么数量关系?【解析
10、】 数量关系为：F=E+FC,理由如下延长AC到点G，使得GBE,连接DG由B是正三角形得：AC=CB=60又DB=DC,BDC=10，B=DB=0DBE=B+DC=630=90，ACBC=60+3=9GC18ACD=90DECG90又DB=DC，BE=G,BCG(SS）EDB=GDC， E=DG又DC=120=EDB+DC=GDC+DC=EGDFEDGE=1200F=EDF=60又DG=D，DF=DFDF D（SS）EG=G+FC+FC【变式五】正方形ABC中,点在CD上,点F在BC上,EAD=15,FAB=30,AD=，求AEF的面积.【解析】 延长CD到点G,使得DG=F,连接G,过E作
11、HAG前面如变式一所证，ADABF,EA AFGA=FA30，SAG=SEAF在RtAG中,GAD0，A=AGD=60，A=2设EH=x在tEGH中和RtEA中A0，H=45G，AH=xGHGAH=，E=x3SEG=EF =HAG.【例8】 已知：正方形中，MAN5,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、C（或它们的延长线)于点、N 如图1,当AN绕点A旋转到B=DN时,有BM+=MN当MN绕点A旋转届时,如图2，请问图1中的结论还与否成立？如果成立，请予以证明,如果不成立,请阐明理由；当MN绕点旋转到如图3的位置时,线段BM、D和M之间有如何的等量关系？请写出你的猜想，并证明. (密云一模)【解析】 图1中的结论仍然成立，即 .证明:如图2,在MB的延长线上截取B=，连结A .易证 （SS）AE=N;EAB=NAD.又AM为公共边， ME=M.即 .
