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1、第三十课时二次函数与一元二次方程【学习导航】 知识网络 学习要求 1能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间； 3体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想自学评价1.二次函数的零点的概念一元二次方程的根也称为二次函数（0）的零点2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程（0）有两个不相等的实数根，判别式对应的二次函数（0）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（0）有两个不同的零点，；听课随笔（2）一元二次方程（0）有两个相等的实数根=判别式对应的二次函数（0）
2、的图象与轴有唯一的交点为（，0）对应的二次函数（0）有两个相同零点=；二次函数与一元二次方程函数的零点二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系函数的零点与对应方程的关系二次函数的零点（3）一元二次方程（0）没有实数根判别式对应的二次函数（0）的图象与轴没有交点对应的二次函数（0）没有零点3. 推广函数的零点的概念一般地，对于函数，我们把使的实数叫做函数 的零点函数的零点与对应方程的关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点【精典范例】例1：求证：一元二次方程有两个不相等的实数根【解】证法1 =一元二次方程有两个不相等的实数根证法2 设，函数的图象是一条开口向上的抛物线，且函数的图象与轴有两
3、个不同的交点，即一元二次方程有两个不相等的实数根点评:例1还可用配方法将方程化为再证明也可仿照证法2，由抛物线开口向上及来推证例2：右图是一个二次函数的图象（1）写出这个二次函数的零点；（2）写出这个二次函数的解析式；（3）试比较，与的大小关系【解】（1）由图象可知此函数的零点是：，（2）由（1）可设= 即这个二次函数的解析式为（3），点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想例3：当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围： （1）方程的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程的两根都小于；（3）方程的两根都在区间上；（4）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；（5）方程至
4、少有一个实根小于分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定的不等式（组） 【解】 设，其图象为开口向上的抛物线若要其与轴的两个交点在点的两侧，只需，即， 当时，满足题意 当时，设. 若要方程两根都小于1，只要 综上，方程的根都小于1时， 设则方程两个根都在 上等价于：听课随笔 （4）设，则方程一个根在上，另一根在上等价于 或（5）设，若方程的两个实根都小于，则有 若方程的两个根一个大于，另一个小于1，则有, 若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为， 综上，方程至少有一实根小于时，点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值
5、域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力追踪训练一1. 函数的最大值是，则 （ D ）A B C D2. 设，, ，则 （ B ） A B C D 3. 若关于的方程有一根在内，则_4.若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_ 【选修延伸】一、二次函数与一元二次方程根的关系 例4:已知，是方程()的两个实根，求的最大值和最小值分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系要求的最值，首先要考虑根
6、与系数的关系，并由此得到以为自变量的的函数解析式【解】因为方程()有两个实根，所以，解得又，所以听课随笔而是减函数，因此当时，取最大值，当时，取最小值点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定的取值范围，否则无法确定函数的单调性追踪训练二1 若方程在内恰有一解，则的取值范围是（ B ）A B C D2已知，并且、是方程的两个根，则实数、的大小关系可能是（ A ）ABCD3不等式对一切实数都立，则的取值范围是.4 已知二次函数和一次函数，其中，且，（1）求证：两函数、的图象交于不同两点、；（2）求线段在轴上投影长度的取值范围答案：（1），,由 得， 因为所以两函数、的图象必交于不同的两点；听课随笔（2）设，则 ，（，）学生质疑教师释疑
