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1、配速法处理摆线运动问题带电粒子垂直磁场方向进入磁场与重力场、电场的叠加场，如杲粒子所受重力、电场力没有能够平衡， 则粒子的运动轨迹将是一条摆线（滚轮线、最速落线），处理这类摆线运动，有三种常见的方法一一运动 分解法（配速法）、微分方程法（见熊志权物理原理不能这样考）和转换参考系法（见陈恩谱物理原 来可以这样学），其中，后两种方法一一一个涉及微分方程求解，另一个涉及到洛伦兹变换一一对中学生 而言都不方便理解，配速法是中学老师喜欢讲、学生也乐于接受的方法。不过，中学阶段，大部分老师讲配速法讲得并不严谨一一除了最开始一刻那种分解没问题之外，此后 的运动过程，除匀速直线运动这个分运动外，另一个分运动果
2、真就是速率不变的匀速圆周运动？如何严格 证明？会不会出现更复杂的情况？笔者通过深入思考，借鉴江苏丹阳聂宇栋老师的思路，特对配速法的原 理作一深入剖析，并以四个具体的例题的方式详细介绍配速法使用技巧。一、配速法及其数学基础1、配速法的操作过程配速法原本只在竞赛中涉及，但是2013年、2015年福建高考两次涉及到了摆线运动，其中2013年最典型，下面以这个高考题来展开配速法的操作过程。【例题】（2013年福建理综第22题改编）如图，空 间存在一范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。让质量为m，电量为q （q0）的粒子从O点以初速 度
3、V0沿y轴正向发射。不计重力和粒子间的影响，求该粒 子运动过程中的最大速度值Vm。【解析】将V0按平行四边形定则分解为 V和V ,且使V1 2 1满足qv B qE，即v引起的洛伦兹力与粒子所受电场力平1 1衡，V引起的分运动是沿 x轴正方向的匀速直线运动；而 V1 2 引起的洛伦兹力将导致粒子在xoy平面内做匀速圆周运动，其半径为R2。粒子实际的运动就是这两个分运动的qB合运动。当粒子圆周分运动的速度也沿U X轴正方向时，粒子的合速度最大，为EE VV VVm1220BBmV从例题的展示我们可以总结出以下两条：其一，将带电粒子的速度进行这样的分解一一其中一个分速度V1引起的洛伦兹力与电场力（
4、或重力、或重力电场力的合力）平衡；其二，按前述分解后，得到带电粒子的两个分运动一一V1引起的匀速直线运动和 V2引起的匀速圆周运动，则带电粒子的实际运动是这两个分运动的合运动。2、配速法的数学基础设一带电粒子电荷量为 q、质量为m，它以某一初速度 V射入一磁场B和恒力场F中，则由牛顿第二 定律，有qvdvB mdtqviB0，则有v，其中V1保持不变，且满足 F2d(vv ) F q(v v ) B m1 21 2dt也就是说，粒子除了速度2V1引起的匀速直线运动外，另一个分运动的动力学方程为qvdvm而这正好是带电粒子在只有磁场时的动力学方程，该方程有两类解:其一，若粒子以速度 v垂直磁场方
5、向进入磁场（v其二，若粒子以速度 V2斜射入磁场（V2与磁场既不垂直也不平行），则粒子作等距螺旋运动。 本文讨论的是垂直进入磁场情况，因此v2引起的就是匀速圆周运动。二、配速法的应用举例在图示空间内有垂直于 xOy平面的水平匀强磁场。一带电小球从0点由静止释放，图中曲线。关于带电小球的运动，下列说法中正确的是.OAB轨迹为半圆B 小球运动至最低点 A时速度最大，且沿水平C .小球在整个运动过程中机械能增D .小球在A点时受到的洛伦兹力与【例1】（2018 蚌埠模拟）如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上,运动轨解析小球释放后，除了受到重力外，开始阶段还受到向右侧
6、的洛伦兹力的作用。可以假定小球带正.电，且磁场方向垂直纸面向里。.小球初速度为0，可以将这个初速度分解为向右的速度vi和向左的速度V2，则两者大小关系为且使满足 qv B mg。则根据前述分析可知，小球的运动可看做是引1起的一开始向左的逆时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动。vi引起的向右的匀速直线运动和XXXvi=v2，X X X X v21 X X X X丹和v2vi很显然，小球的轨迹不是半圆，而是摆线,A错；小球运动至最低点 A时速度为向右的 V2和vi的矢dvdv即Fqv BqvB m2i m 2dtdtdv由于vi保持不变，i0，则有dtdvqv2B m 2dt量和，即2 V1，其他
7、位置V2和V1的矢量和都小于 2 V1,故B正确；在A点，v 的确是满足qv B mg，但是V2引起的匀速圆周运动却是不平衡的：qv B1 2本题答案为B。【例2】（多选）一个带正电的小球沿光滑绝缘的桌面向右运动，速度方向 垂直于一个水平向里的匀强磁场，如图所示，小球飞离桌面后落到地板上， 设飞行时间为ti，水平射程为X1,着地速度为VI。撤去磁场，其余的条件不变， 小球飞行时间为t2，水平射程为X2，着地速度为V2，则下列论述正确的是（）A . Xi X2B . ti t2C . Vi和V2大小相等D . Vi和V2方向相同解析将小球的速度分解为向右的速度 V0i和另一个速度V02,其中Vi
8、满足的具体值未知，因此可能存在四种可能：mg（i ），则V020 :小球直接做水平向右的匀速直线运动；V V0 0i引起的向右的匀速直线运动V2，因此D错误。m 2rqv B mg。由于vo大小0iqB(2)v v ，则V02向右：Vol引起向右的匀速直线运动，V02引起逆时针的匀速圆周运动，这又有三0 01种情况：V02V01显然，题目所述情景是第（3）种情况，且只考虑方框内部分轨迹。小球在飞行过程中受到斜向右上方的洛伦兹力作用，此力在水平方向上的分量向右，竖直分量向上，因此小球水平方向上存在加速度，竖直方向上的加速度 a v g , ti t2, xiX2, A、B对；又因为洛伦兹力不做功
9、，故 C对；两次小球着地时速 度方向不同，D错。本题答案为ABC。【例3】如图所示， 的带电粒子以初速度 vo从0点射入P、 大小为E的匀强电场，则粒子束恰好从 小为B的匀强磁场，则粒子束将恰好从 果同时加上上述的电场和磁场，则（A.粒子束将沿直线00 运动B .粒子束将沿曲线运动，射出点位于 C .粒子束将沿曲线运动，射出点位于P、Q为相距较近的一对平行金属板，间距为 2d , 00 Q间，Vo的方向与两板平行.如果在 板右端的a点射出；如果在 P、Q.为两板间的中线.一束相同 如果在 opLQ间加上方向竖底向上、 $可加上方向垂直纸面向外、大板右端的b点射出不计粒子的重力及粒子间的相互作用
10、力，如O 点上方O 点下方D 粒子束可能沿曲线运动，但射出点一定位于O 点1 _Eq2mdv 3解析设板长为L,加上电场后，粒子做类平抛运动，贝UL = vot, d = at2,又a =，解得E =;2 mqL2 2mvO2mdv o加磁场后，在磁场中做匀速圆周运动，有(R d)+ L2 = R2,又qvoB =，可得B=;若同时加 Rq(d2 + L2)电场和磁场，EqBqv o,将分解为向右的速度vi和向左的速度V2,且使满足qv B qE ,开始向左的顺时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动，轨迹最低点速度还是向右，如图所示。17徹本v02v01则粒子到底是被上极板吸收，还是射出了极板，
11、到底是从O 点上方还是从O 点射出，都不确定题没有答案。注 . | ?【例4】(2015 福建高考)如图，绝缘粗糙的竖直平面 MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁红 场，电场方向水平向右，电场强度大小为E,磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为为电荷量为q的带正电的小滑块从 A点由静止开始沿 MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动。 A点间距离为h,重力加速度为 go(1)求小滑块运动到 C点时的速度大小vc;777777N(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此
12、后小滑块继续运动到水平地面上的已知小滑块在 D点时的速度大小为 vd，从D点运动到P点的时间为t,求小滑块运动到P点时速度的大小vPo解析(1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足qvB + Fn = qE小滑块在C点离开MN时Fn = 0E解得vc = oB(2)由动能定理得T C1mgh Wf= mvc2 022B2(3)如图，小滑块从 C到D的运动实际上是摆线运动，当其运动至电场和重力场的合力场“等效重力 场”的最低点D点时，速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直，注意，此时小滑块并不是 处于平衡状态。qE撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g ，有g = m2 + g2，且解得Vp =VP2= VD2 + g 2t2qEVD2 m 2g2 t2。（文中摆线系河南信阳孙健老师绘制，特此鸣谢！）
