《第五讲 概念课(直线的倾斜角和斜率)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五讲 概念课(直线的倾斜角和斜率)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五讲：概念课 一、 教学设计二、案例分析案例1： 概念生成课的案例（直线的倾斜角和斜率）第一阶段的探究：找到核心师：我们在爬山的时候，会感觉到有的山坡陡，有的平坦些。怎么来刻画这种区别呢？生1：角。师：说具体些。生1：山坡和水平线所成的角。师：如果把山坡看成直线，水平线看成横轴，那么生1：直线和x轴的夹角。师：对，我们把这个角叫做直线的倾斜角。不过我只是给了个模糊的说法，试给倾斜角下个数学定义好吗？生2：直线和x轴所成的角。生3：（反驳）直线和x轴所成的角有4个，应为：与x轴正方向所成的角。生4：（反驳）应改为：直线向上方向和x轴师：很好！我们给出了直线的倾斜角的定义：直线的向上方向和x轴的
2、正方向所成的角叫该直线的倾斜角。（板书）师：有没有不同意见？生5：建筑工人在观察所砌的墙壁是不是垂直于地面时，是用一根线吊起来，看墙壁和吊线之间的夹角。这个夹角也可以衡量直线的倾斜程度的。师：很好！真聪明。实际上是研究直线和y轴的夹角你怎么看？。第二阶段的探究：进一步改进师：让我们回到和x轴的夹角。在三角里，我们已经把角的概念推广到任意角了，这样的说法可不可以改进一下？生6：应该说最小角。生7：应该确定角的旋转方向。师：（得出定义，板书）请大家看书。划出关键词。评：尽管我们不要求背定义，但是定义的词语分析是很值得重视的。生8：逆时针，最小正角。师：以后，为了统一起见，我们以这个作为直线倾斜角的
3、定义。第三阶段的探究：细节特例补充师：还有什么要注意的，定义中似乎还有什么情况被遗漏了生9：当直线和x轴不相交时。师：这个时候规定它是几度较为合理？生9：0度。（得出完整的定义）评：有些概念常会有几个特殊情况，需要强调。譬如绝对值，定义是这样的：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。其中的“零”的情形，就是特殊情况。它是整个定义的组成部分，又是学生容易忽视的。第四阶段：对概念进行练习师：倾斜角的大小可以使任意的吗？生9：应该在0到之间。师：能够等于0吗？能够等于吗？生：能够等于0，不能等于。接着，教师出了一些练习题：1、 如图1，直线l是第一、第三象限的角平分线，能够
4、说l的倾斜角是45、405、/4、225吗？2、 如图2，直线l是第四象限的角平分线，能够说l的倾斜角是315、-/4、135、n360+315吗？3、 如图3，直线l是第二象限的角平分线，能够说l的倾斜角是315、-3/4、135、n360+315吗？师：要注意区分两个概念。借用图2，对于“直线l倾斜角”，和“始边是x轴正方向、终边位置在l的角”，有谁能够说清楚它们的区别和联系？生10：前面的一个概念时对直线而言的，而后面的概念时对射线说的。直线l的倾斜角只有一个，而且范围是0；而始边是x轴正方向、终边位置在l的角，有无数多个，可正可负，一般表达式是k360+（kZ）。师：好，大致说清楚了。
5、评：相似概念的辨别比较落实。第五阶段：引出斜率师：刚才得出了倾斜角来反映直线的倾斜程度，还有同学用吊线和y轴的夹角来刻画倾斜程度，得到了倾斜角的定义。除了用角来刻画直线的倾斜程度外，还可以用别的什么数量吗？生11：取倾斜角的正弦、余弦、正切，这些都是数，都可以反映直线的倾斜程度的。师：选哪个好？生12：正弦不好，因为在0，）内角和正弦不是一一对应。在正弦和余弦之间，好像选正切好。评：又是在展现概念的生成过程，但又不过分。师：好的，我们把直线倾斜角的正切叫做直线的斜率，即斜率k=tan。注意，这里要求/2，即当=/2时直线的斜率不存在。这是一个特殊情况。第六阶段：总结扩展师：到现在为止，我们有哪
6、些确定直线方向的方法？生13：方向向量，法向量，倾斜角，斜率。师：这四者如何转换？有什么需要注意的？议：D老师的这节概念课，一个特点是展现了概念的形成过程。倾斜角也好，概念也好，原来都是为了反映某类食物，或者某种性质的。反映某类事物或某种性质，有时可以用多种办法来刻画，经过适当的取舍之后，才有了书上的定义。另一个特点是概念的分析比较到位。为了理解一个概念，一般说，一是正反举例；二是扣住定义的关键词语；三是注意特殊情况；四是与有关概念进行比较，找出两个概念的区别和联系。对概念教学，教改之后更为强调概念的生成，这是正确的。但不能忽视对概念本身的分析，这可是基本功。要懂得种属定义的基本结构是“属+种
7、差”（这是主要定义方式，另一种方式是归纳定义），就是上位概念加上一个或几个限制词。有时候这种结构很清楚，有时候又比较含糊。有些学生定义背的很熟，却不知道某个概念的上位概念时什么。譬如，“数列的极限时什么？”对这样的问题，回答五花八门，有的说是无限趋近，有的说是N事实数学的极限时实数（上位概念），是一个数列无限趋近的（限制词，即属差）实数。复数的模是什么？也是弄不清楚，只知道复数的模|a+bi|= ，其实复数的模式正实数（上位概念），是等于的正实数。除了知道上位概念之外，对定义里的限制词也要一个一个弄清楚。要正反举例。概念时抽象的，词语是枯萎的，而例子是具体的，容易理解。在举正面例子的时候，要尽
8、量考虑足够的代表性。否则会有有意无意地使学生把概念的范围理解窄了。譬如将无理数，老师如果只举、这样的例子，学生无意中会把无理数理解成“不尽根”。在举正面例子的时候，对一些特殊情形和后面引进情形要给予充分的注意。譬如，零的绝对值是零，这就是特殊情形；幂的意义常常忘了负指数幂、分数指数幂的情形，这是因为原先学的是正整数指数幂，负指数幂与分数指数幂都是后面再学习的缘故。举反例，要指出违背了定义中的哪个要求。要注意分辨容易混淆的概念。有些概念的提法不同，含义是一样的，譬如正三角形和等边三角形。有的提法相同，含义却是不同，譬如“距离”，有两点间的距离，有两平行线间的距离等；“圆柱”和“直圆柱”本事两回事
9、，但常常把“直圆柱”简称为“圆柱”。有的是提法相近，含义不同，譬如最大值和极大值。要注意概念间的联系。两个概念，有事是从属关系，譬如三角形和等边三角形，有时是并列关系，譬如正整数指数幂和负整数指数幂。有时是交叉的，譬如直角三角形和等腰三角形，有时甚至是不在同一个系统之内的，譬如本节课里的直线的倾斜角和直线的斜率，一个是角，一个事比值，但他们有联系。如果我们能够注意到概念的生成，又善于对概念本身进行分析，同时，在引进概念的时候，又不拖泥带水地“作秀”；在对概念本身进行分析时又不在非基本的地方故意制造吗“麻烦”，那么这节概念课肯定是成功的。案例2： 概念解析课的案例（零指数幂陈永明评议数学课P29
10、-31）多年前，G老师执教了一节“零指数幂”概念课.师：过去我们学过的次幂（是正整数），请大家回答一下，的次幂是什么意义？生1：的次幂就是个的乘积.师：（板书）现在我再问个问题：的0次幂是什么意思？请同学们想一想.（板书）：（全场活跃）生2：师：为什么呢？生2：因为所以中的0也可以省略（自己感到错了）生3：，因为是0个相乘.师：0个怎么能相乘呢？生3：生4：（支支吾吾）我觉得老师你不应该提出这个问题来，因为没有0次方，是没有的.因为我们没有学过，所以，我无法回答是多少.师：生4回答得对不对？（没有反应）师：生4说得对，在数学学习上，我们应该坚持科学态度，说话要有根据.我们没有学过，目前当然就没
11、有办法判断我们说实质上是对符号“”的意义作了一个规定（这里的，并且是正整数）. “”是个新符号，也要对它的意义加以规定，否则它是没有意义的. 今天，我们规定：（板书） （全场安静）同学们一定感到奇怪，为什么规定而不规定为别的值呢？生5：应该等于1，因为师：生5说得正确，如果规定，那么与的计算结果就一致了.这说明规定是合理的.过去学过的性质：是在的条件成立的，如果，这个性质就不能套用，因为当时不知道的意义，即的意义.现在规定了，那么在这个规定下，时这个性质就有效了.例如，一方面，（相同两个数的商等于1）.另一方面，如果套用公式，根据刚刚学过的的规定，它等于1.可见，两种算法结果一致.这说明这种规定是合理的. 但如果规定，我们来看看合理不合理？一方面，(相同两个数的商等于1).另一方面，如果套用公式，有，因为刚才规定了，所以.这两种计算结果不同，说明这种规定是不合理的.所以，这里有两个问题，第一，在数学中对新出现的记号（概念）必须规定它的意义，不能想当然；第二，规定有必须是合理的，譬如说，张家的第二个孩子被起名为“张三”，就不合常理了.
