《概率在证明不等式中的应用(DOC 9页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率在证明不等式中的应用(DOC 9页)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备 欢迎下载概率在证明不等式中的应用不等式的证明方法很多，不仅可以用高等数学的方法证明，而且也可以用初等数学的方法证明，技巧十分灵活多变，当然也有不少问题需要几种方法综合使用才能解决。作为研究随机现象数学领域中的一个重要分支，概率论与数学各个分支之间有着十分广泛的联系，通过对不等式的探讨他们之间的联系具有十分重要的意义。概率论与不等式融会贯通、互为所用，如何利用根据不同的数学问题建立相应的随机概率模型是概率论方法证明不等式的关键，然后运用概率、函数之间的相关性质给出问题的结果。下面对不等式证明中的各种概率论方法进行进一步研究:1.运用概率论的性质证明不等式1.1 运用随机变量的数字特征证
2、明其不等式 定理 设X是一只取有限个值的离散型随机变量，其分布列为 PX=, k=1,2,n, 则 (X) E（）, 当且仅当=E(X)时，等式成立. 证 由E（）-(X) = D(X) = 0即得证.下面简举几例应用在数学方面,如下：题1 求证 ，其中，且全不相等 证 假设随机变量X的分布列为 其中 则有， +3 最后由引理(X) E（）即可得. 题2 求证 其中,为正数. 证 设随机变量X的分布列为 =, 其中，由引理(X) E（） = E（）= 进而得证。题3 求证 （*）其中为正数.证 若设随机变量X的分布列为 （其中 ） 由引理(X) E（）即可得 不等式设随机变量X的分布列为 (
3、其中 )由引理(X) E（）即可得 不等式；从而得证。同样的证明我们可以得到上不等式的推广：推广 设是不全相等的正数，则 （其中）从以上诸题可见：由E（）(X)，所得的结论让我们认识到仔细分析题目，依据所证的不等式的特点，证明的关键是要求我们要灵活而巧妙地构造出一个合适的随机变量的分布列。根据概率论中的一些定理可以帮助我们证明一些复杂的不等式，这些定理还可以是方差、协方差等定理的应用，并于此同时我们也取到举一反三的效果。1.2 利用事件的关系运算 题 证：2+4 +3+5， 其中， 证 该不等式很难证明，我们把它转化为概率模型，设相互独立的随机事件（），由于，可以看作事件（）的发生概率，即：
4、= 由于任一事件的概率 1，则有 = ， （*）事件之间并的关系的运算公式：=将= （ ） 代入上（*）不等式 （-+） ，以上几式相加，并将式子合并、移向整理即得证原不等式2+4 +3+5.从以上可见：所给的题目用常规方法无从下手，很难解决，但将题目中的看成相应相互独立随机事件，利用事件间的关系与事件的运算，再结合概率知识证明不等式，使问题简单明了化。2.构造随机概率模型证明不等式 根据问题的条件及所给的数量关系构造概率模型，使原有的信息条件转化成另一种新的数量关系，使问题在新的数量关系下实现转化，并利用所构建新的概率模型的数字特征解决所证的不等式。然而，解决该类问题的关键在于构造怎样相应的
5、概率模型，使问题朝向概率问题上发展。在下面的讨论中我们将提供三种如何构造随机概率模型来证明不等式的方法。2.1 构造泊松分布概率模型题 证。分析 将原不等式转化为。我们构建泊松分布的概率模型：其概率密度为 （）泊松分布的数学期望为 ，构造函数 ， 是一个凹函数，其中（0） ， 知： , 因为为凹函数，所以由詹森不等式，即 令，原不等式即得证。解决本题的关键在于转化创建相应的概率模型，并适当利用数学知识如本题中的詹森不等式的应用，更是解题中关键中的转折点。2.2 构造广义贝努利概率模型 题 证明 1。分析 将0，为 上的凸函数。分析 从题意中，可构造一个连续型随机变量的分布密度：令，则 ， ，又
6、因为在上的凸函数所以由詹森不等式 即可得 不等式成立。3.2 构造离散型随机变量题 证明： ，其中均为正数。分析 从题意中，可以构造一个离散随机变量的分布密度。设离散随机变量的分布密度为： = （） 其中=1.则该随机变量的数学期望 ， 构造一个函数，是（）上的凹函数，由詹森不等式 ,从而 ， 即： （*1）再构造= ，是（）上的凸函数，由詹森不等式 ,可得： 即： （*2）由上述式（*1）和式（*2）可得，原不等式成立。 不等式与概率之间的联系小结： 从前面所举的几例中，我们可以看到不等式与概率之间的紧密，正如数学家王梓坤在文献中指出：“用概率的方法来证明一些关系或解决其他数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一。”利用概率定理的性质证明不等式，构造随机概率模型证明不等式，函数凹凸性与随机变量数字特征的关系函数证明不等式等方法，当然这只是简举几例，还有其它的利用概率的方法证明不等式。但仅从以上几例，我们也可以深入地了解到用概率论的思想、方法解决一些数学不等式的证明问题，思路别开生面，过程简洁直观，给人以耳目一新的感觉。不但可以为学习高等数学提供概率论背景，而且可以将不同学科之间的关系有机的结合，沟通不同学科之间的联系。
