《排列与组合版块四排列数组合数的计算与证明学生版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列与组合版块四排列数组合数的计算与证明学生版（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第 二类办法中有m种方法，在第n类办法中有m种不同的方法那么完成这件事共有 2nN = m + m + + m种不同的方法.又称加法原理.12n乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m种不同的方法, 做第二个步骤有m种不同方法，做第n个步骤有m种不同的方法.那么完成这件事 2n共有N = m xm xx m种不同的方法.又称乘法原理.12n加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理如
2、果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列 组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用 2 排列与组合(排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素) 排列数：从n个不同的元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号Am表示.排列数公式：A m = n
3、 (n 1)(n 2)(n m + 1) ， m， n g N，并且m W n 全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列. n的阶乘：正整数由到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n !表示.规定：! = 1 .(组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m (m w n)个元素并成一组，叫做从“个元素中任取m个元素的一个组合.组合数：从n个不同元素中，任意取出m (m W n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个 不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号s表示.n组合数公式：C m = n(n 1)( n 2)n m + 】)= 哩 ,m, n g N，并且m W
4、 n nm !m !( n m )!+组合数的两个性质：性质1：C m= C n m；性质2：C m = C m + C m 1(规定C = 1)n nn + 1 n nn排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是 分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做 到分类明确，层次清楚，不重不漏3排除法，
5、从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元 素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6. 插板法：n个相同元素，分成m（m w n）组，每组至少一个的分组问题把n个元 素排成一排，从n - 1个空中选m - 1个空，各插一个隔板，有Cm-1 .n -17. 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）.有等分、不等分、部分等分之别.一 般地平均分成n堆（组），必须除以n ！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8. 错位法：编号为
6、1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个 小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当=2，3, 4, 5 时的错位数各为 1， 2， 9， 44.关于 5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法 转化为 2个、3个、4个元素的错位排列的问题.1. 排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途 径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数.求解时应注
7、意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答.2. 具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面. 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型.np典例分析排列数组合数的简单计算【例1
8、】对于满足n三13的正整数n，(n - 5 )(n - 6 ). (n - 12 )=()A A 7B A 7CA8DA12n - 12n-5n-5n-【例2】计算a 3 -7【例3】计算A3 ， A6 ；10 6【例4】计算C2 =7C5 =【例5】计算C3 , C6 ；10 8例6】 计算 A3 ， A47 10C3 , C48 , C2 + C37501919例7】已知a 4= 140A 3，求n的值.2 n + 1n【例8】解不等式Ax 6Ax-288好思音庵例9】 证明：A9 - 9A 8 + 8A7 = A8 -9878【例10】解方程A3 = 100A 2 2xx【例11】解不等
9、式Ax 3C m 88【例14】设x表示不超过x的最大整数（如=2，5L 1）,对于给定的n e N *，定义4Cxn(n (n - 1)(n - |_ x+ 1) x(x - 1)(x - x+ 1)x e 1+ 8），则当x e , 3时，函数Cx的值域是L 2丿8A.16,283B.16 ,563丿C.( 28 )4, 一U 28 , 56 )D.f 16 4,Uf 28一,2813丿13 _1 3【例15】组合数Cr （n r三1 ,n、e Z）恒等于（nr + 1n + 1A.C r -1B(n + 1 )(r + 1)Cr -1n -1n -1C. nrC r-1n - 1D. n
10、 C r-1r n -1的值.【例 16】已知 Cm : C m+1 : C m+2 = 3:5:5，求 mn+2 n+ 2n+ 2排列数组合数公式的应用【例 17】已知 C - 3 + C n - 2 C? C - C-l，求 C的值.20 20 21 22 21 21【例 18】若 C2n+6 = Cn+2,(n e N)，则 n =20 20【例 19】若 C m-1 ： C m ： C m+1 = 3： 4： 5，则 n - m = nnn【例20】证明：nCk = (k + 1)C k+1 + kCknnn【例 22】求证：A m 一 1 A m 一 1 + (m 1)A m - 2
11、nn 1n 1【例23】证明：kCk - n 2n1nk0例24】证明：C1 + 2 C2 + 3 C3 + + nC nnnnn例25】 求证：C n + C n + C n + + C n C n + 1n+mn+m+1例26】 计算： C 2 + C3 ，99 99CO + C1 + C2 + + C945613【例 27】证明：coc k+OC k -1 + C2 c k - 2 + .+ c k co= C k （其中 k W min m , n）m n m nm nm n n + m例28】解方程 cx+5= c x-1 + c x- 2x+3x+ 33+ A24 x+ 3【例29】确定函数as的单调区间.例30】x规定 A m = x（ x - 1）. （ x - m + 1） ， 其中x e R，m为正整数 ，且 A0 = 1 , 这是排列数Amxxn（n , m是正整数，且m W n）的一种推广.求 A3 的值；-15（排列数的两个性质：Am = nAm-1 ,Am + mAm-i = Am （其中m , n是正整数）.是nn-1nnn +1否都能推广到Am（ x e R，m是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给 予证明；若不能，则说明理由
