微积分建立的时代背景

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1、微积分建立的时代背景、发展状况和历史意义微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科 学，微积分的基本概念是函数、极限、实数、导数、积分等，其中极 限是微积分的基石。微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它 引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思 想”。恩格斯更是称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。微积 分的建立，无论是对数学还是其他科学以至于技术的发展都产生了巨 大的影响，充分展示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界 的能力的巨大促进作用。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微 积分是人类智力的伟大结品，它给出了一整套的科学方

2、法，开创了科 学的新纪元，并因此加强与加深了数学的应用。恩格斯曾说：“在一 切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被 看作人类精神的最高境界了。如果在某个地方我们看到人类的精神的 纯粹和唯一的功绩，那就是正是在这里。”微积分的产生具有悠久的历史渊源。在中国，公元前4世纪，桓团。 公孙龙等提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元3世纪刘 徽的“割圆术”和公园5-6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积 的研究（祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后 7位的圆周率近似值，他还精确地计算了地球的体积），都包含着微 积分概念的萌芽。在欧洲，公元前3世纪欧几里得在几何原

3、本中 对不可公约量及面积和体积的研究，公元前3世纪阿基米德对面积及 体积的进一步研究(穷竭法)，也都包含着上述萌芽。欧洲文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大的发展。 到了 16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究 成了自然科学的中心议题。于是在数学中开始研究各种变化过程中变 化的量(变量)间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点。 在伽利略等人的数学著作里面，都包含着微积分的初步想法。到了 17世纪，生产的发展提出了许多技术上的要求，而要实现技术 要求必须有相应的科学知识，例如流体力学(与矿井的通风和排水有 关)、机械力学等都突飞猛进的发展，在资本主义社会的

4、商品生产中， 贸易活动占有重要地位，与此相关的海运事业迅速发展，向外扩张的 军事需要，也出尽了航海的发展。航海需要精确而方便的确定位置(经 纬度)、预报气象，天文学因而发展起来，对经纬度测量的需要使人 们进行了这样一系列研究：对月亮与太阳及某一恒星距离的计算； 对木星卫星蚀的观察；对月球穿越子午圈的观测；摆钟及其他 航海时计在海上的应用等等。由于这些研究，产生了近代力学、天文 学等近代理论。所有这些发展都对数学提出了新的要求，这些要求表现为一些亟待数 学解决的问题，这些问题可以分为以下四种类型：1. 已知物体移动的距离能表示为时间的函数公式s=s(t)，求物体在任 一时刻的速度u =u (t)

5、，和加速度a=a(t)；或者反过来，已知物体加速 度能表示为时间的函数a=a(t)，求物体任意时刻的速度；或已知物体 速度能表示为时间的函数u =u (t)，求物体在任意时刻移动的距离。上述问题如果对于匀速直线运动来考虑，当时的数学工具已经可以解 决，但当时天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线 运动，所以要求新的数学工具。2. 已知曲线求其切线。这不仅是几何问题，而且也是许多其他科学的 问题：物体做曲线运动时，在每一瞬间速度的方向就是此曲线相应的 点的切线的方向；在光学中对光的折射和反射的研究要求做出界面的 法线方向，法线方向是由切线方向决定的。3. 已知函数，求函数的极大值和极

6、小值。这与天文学和力学都有关， 例如求行星运动的近日点和远日点，抛射体的最大射程和最大高度等 问题，都可归结为这种类型的问题。4. 求曲线的长度。这是以计算行星扫过的面积为代表；还有求物体的 重心、求两个天体之间的引力等问题。这些问题，都是17世纪时其他科学，尤其是天文学和力学以及某些 技术科学所提出的基本数学问题。17世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几 类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙 格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都 提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。总之，到17世纪前叶，已经积累了许多关于微积分

7、思想的成果，但 微积分作为一门学科来发展，还是由于牛顿和莱布尼茨的杰出工作。 在他们之前，微积分的工作基本局限于一些具体的问题的细节之中， 还缺乏普遍性的规律。在17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后， 分别独立建立了微积分学。他们建立微积分的出发点都是直观无穷小 量。 牛顿（Isaac Newton, 1642年1727年），英国数学家、物理学家、天 文学家和自然哲学家。牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。17 世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无穷小问题（诸如曲线的 切线、曲率、极值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度以 及物体重心的计算）的特殊方法。牛顿超越

8、前人的功绩在于将这些特 殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算关系（微积分基本定理）。牛顿的微积分中有一个基本重要的概念“流数”， 流数被定义为可借运动描述的连续量一一流量（用x，y，z，表 示）的变化率（速度），并用在字母上加点来表示，如父,顶,z，。牛 顿表述流数术的基本问题为：已知流量间的关系，求他们的流数间的 关系，以及逆运算。牛顿创立微积分有深刻的力学背景，他更多的是 从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题。莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646 年1716 年），德国数学 家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人。莱布尼茨

9、终生奋斗的主要 目的是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法。这种努力导致 许多数学的发现，最突出的是微积分学。莱布尼茨创立的微积分学主 要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分符号（如dx，/等）以 及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大影响。微积分的产生和发展，与物理学和几何学的发展紧密相连，微积分的 许多基本概念都有实际背景，并受实际需要的推动。17世纪牛顿和 莱布尼茨分别独立的完成了微积分的创建工作，与此同时，力学和物 理学也得到了发展。牛顿和莱布尼茨的工作使得导数和积分的互逆关系成为相当广泛的一类函数的普遍规律。他们有效地创立了微积分的 基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应

10、用于科学实践。微积分的诞生是继Euclid几何建立之后，数学发展的又一个里程碑式 的事件。微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几 何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学 作了总结，使代数与几何融为一体，并引发出变量的概念。变量，这 是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础。推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的 思想，产生像牛顿、莱布尼茨、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为 科学活动提供方法，指出方向的领袖，但也必须等待创立一个必不可 少的工具一一微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域

11、是最丰富的，微dydx积分为创立许多新的学科提供了源泉。Ay limAxx s L-/v微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是 人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结品。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深 了数学的作用。有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工 业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机。宇宙 飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下， 万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用， 以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最遥远的天体的运动 行为

12、。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这是人 类认识史上的一次空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有 深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在 天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的 科学运动开始了。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。 分析学的奠基人，法国数学家柯西在18211823年间出版的分析 教程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作。在那里他给 出了数学分析一系列的基本概念和精确定义。对分析基础做更深一步的理解的要求发生在1874年。那时的德国数 学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没 有切线的

13、连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概 念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得 多。黎曼发现，柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数。黎曼证 明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改 进为Riemann积分。人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学 科在现代也一直在发展着。以下列举了几个例子，足以说明人类认识 微积分的水平在不断深化。在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后，Lebesgue又引进了测度 的概念，进一步将Riemann积分的含义扩展。例如著名的Dirichilet 函数在Riemann积分下不可积，而在Lebes

14、gue积分下便可积。前苏联著名数学大师所伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯 一性，建立了广义函数和广义导数的概念。这一概念的引入不仅赋予 微分方程的解以新的含义，更重要的是，它使得泛函分析等现在数学 工具得以应用到微分方程理论中，从而开辟了微分方程理论的新天 地。我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分 的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨 大的作用。并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由我国数学家朱熹 平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想便属于这一领域。在多元微积分学中，NewtonLeibniz公式的对照物是Green公式、 Ostrograds

15、kyGauss公式、以及经典的Stokes公式。无论在观念上 或者在技术层次上，他们都是NewtonLeibniz公式的推广。随着数 学本身发展的需要和解决问题的需要，仅仅考虑欧式空间中的微积分 是不够的。有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般 的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演着重要的角色。于是，外 微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了。而经典的Green 公式、OstrogradskyGauss公式、以及Stokes公式也得到了统一。 微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽 象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规 律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认 识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全面地发展。人类对 自然的探索永远不会有终点。