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1、1、行列式1. n行列式共有”2个元素,展开后有n!项,可分解为2”行列式;2. 代数余子式的性质: 、.和气.的大小无关; 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; 、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A| ;3. 代数余子式和余子式的关系:M = (-1)+.AA = (-1)+jMijifijij4. 设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D1 = (-1)TD ;将D顺时针或逆时针旋转90o,所得行列式为D,则D = (-1)T D ;将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D = D ;将D主副角线翻转后,所得行列式为D
2、,则D =D;5. 行列式的重要公式:44 、主对角行列式:主对角元素的乘积; 、副对角行列式:副对角元素的乘积x(-1广了 ; 、上、下三角行列式(I、1 = 1 I):主对角元素的乘积;、r |和|,| :副对角元素的乘积x(-L ;、拉普拉斯展开式:=AIBI、=(-1加gn |A | B | 、 、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;特征值;6. 对于n阶行列式|A|,恒有:魅-A| = M+f (-fE,其中Sk为k阶主子式;k =17. 证明|a| = 0的方法: 、Al = -AI ; 、反证法; 、构造齐次方程组Ax = 0,证明其有非零解; 、利用秩,证明r(A) vn ;
3、 、证明0是其特征值;2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵:=AI尹0 (是非奇异矩阵);=r(A) = n (是满秩矩阵)=A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组= 0有非零解;=.b e Rn, Ax = b 总有唯一解; A与E等价; A可表示成若干个初等矩阵的乘积; A的特征值全不为0; AtA是正定矩阵; A的行(列)向量组是Rn的一组基; A是Rn中某两组基的过渡矩阵;2.对于n阶矩阵A : AA* = A*A = Ae无条件恒成立;3.(A-1)* = (A*)-1(AB )t = BtAt(A-i)t = (At )-1(AB )* = B* A(A* )t = (At )*(AB
4、)-1 = B-1A-14.5.I、IaI = IaJIA2L Ia I;仔1-1II、A-1 =A-12A-1)sAO -1(k OB )=kf OA -1(k BO )=kf AC、-1(k OB )=kf AO、-1(k CB J=k、OA-1A-1OA-1O(主对角分块)(副对角分块)-A-iCBB-1 JA-1O -B-1CA-1 B-1)-1;(拉普拉斯);(拉普拉斯)矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:,则:3、矩阵的初等变换与线性方程组. E O1. 一个m xn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是
5、唯一确定的:F = ;k O O )mxn等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,若r(A) = r(B) A : B ;2. 行最简形矩阵: 、只能通过初等行变换获得; 、每行首个非。元素必须为1; 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) 、若(A, E) : (E , X),则 A 可逆,且 X = A-1 ; 、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A-1 B,即:(A,B)(E,A-1 B); 、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程A
6、x = b,如果(A,b): (E,x),则A可逆,且x = A-1b ;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: 、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、,左乘矩阵A,人乘A的各行元素;右乘,人乘A的各列元素;-1、对调两行或两列,符号 E(i, j),且 E(i,j)-1 = E (i,j),例如:-1、倍乘某行或某列,符号 E(i(k),且 E(i(k)-1 = E(i4), k例如:(k。0);-1r1、倍加某行或某列,符号 E(ij(k),且 E(j(k)-1 = E (j(-k)如:(k 尹 0);1J1J5. 矩阵秩的基本性质: 、0 r(A )
7、 min(m,n); r(At ) = r(A); 、若 A : B,则 r(A) = r(B); 、若P、Q可逆,则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) + r(B); 徐 、r(A + B) r(A) + r(B);(淤 、r(AB) min(r(A),r(B);(淤 、如果A是m xn矩阵,B是n x s矩阵,且AB = 0,U:(淤I、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论);II、r(A) + r(B) r(A) + r(B) -n ;6. 三种特殊矩阵的方幂:
8、、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)X行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;r 1 a c 、型如0 1 b的矩阵:利用二项展开式;V 0 0 1J二项展开式:(a + b)n = C 0 an + C1 n-1b 1 + L + Cmian -mbm + L + Cn-1“1bn -1 + CnbnC mambn-mI、注:I、(a + b)n展开后有n +1项;n(n - 1)L L (n - m +1)n!Cm =n1g2我L gmm!(n-m)!C 0 = Cn = 1n nIII、组合的性质:Cm = Cn - mn nCm = Cm + Cm-1初 Cr = 2nrCr =
9、nCr-1 ;r=0 、利用特征值和相似对角化:7. 伴随矩阵:nr (A) = n、伴随矩阵的秩:r(A*) = 1r(A) = n -1 ;0r (A) n -1 、伴随矩阵的特征值:? (AX =人X,A = AlA-m A*X = AX); 、A* = AlA-1、A* | = Al-18. 关于A矩阵秩的描述: 、尸(A) = , A中有阶子式不为0, +1阶子式全部为0;(两句话) r(A) n,A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax = b,其中A为m xn矩阵,则: 、m与方程的个数相同,即方程组Ax = b有m个方程; 、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax = b为
10、n元方程;10. 线性方程组Ax = b的求解:、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换); 、齐次解为对应齐次方程组的解; 、特解:自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、a x + ax+ L+ ax= b11 112 21n n 1a x + ax+ L+ ax= b21 122 22n n 2LLLLLLLLLLL 、 、 、 、f aaLa Y x 1f b 111121n11aaLaxb21222n2=2MMOMMMaLa_ 7x_ J b Ja x +a x +L +a x =bm1 1 m 2 2nm n nmo Ax = b (向量
11、方程,A为mn m七f ta ) x =P (全部按列分块,其中。=%.); n MMa x + a x + L + a x = P (线性表出)1 12 2n nmxn矩阵,m个方程,n个未知数)I bn J有解的充要条件:r(A) = r(A, p) n( n为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A : a ,a ,L ,a构成nxm矩阵A = (a ,a ,L ,a );12m12m1p rM B r 7m个n维行向量所组成的向量组B : Pr, 0r ,L ,P构成m xn矩阵B =2.3.4.5.含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 、向量
12、组的线性相关、无关 o = 0有、无非零解;(齐次线性方程组) 、向量的线性表出o Ax = b是否有解;(线性方程组) 、向量组的相互线性表示o AX = B是否有解;(矩阵方程)矩阵Am n与B xn行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解;(P101例14)r (Ar A) = r (A) ; (P01 例 15)n维向量线性相关的几何意义: 、a线性相关o a = 0 ; 、a, P线性相关oa, P坐标成比例或共线(平行); 、a, p,丫线性相关 oa, p,y共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若a ,a ,L ,a线性相关,则a ,a ,L ,a
13、 ,a 必线性相关;1 2s1 2s s+1若a ,a ,L ,a线性无关,则a ,a ,L ,a必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)1 2s1 2s-1若r维向量组A的每个向量上添上n -r个分量,构成n维向量组B :若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A (个数为r)能由向量组B (个数为s)线性表示,且A线性无关,则r s (二版七定理7); 向量组A能由向量组B线性表示,则r(A) r(B);(七定理3)向量组A能由向量组B线性表示o AX = B有解;o r(A) = r(A,B) ( P5 定理 2)向量组A能由向量组B等价or(A) = r(B) = r(A,B)( P5定理2推论)8. 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P ,L ,P,使A = PP L P ;12 I1 2 I 、矩阵行等价:A B o PA = B (左乘,P可逆)o Ax = 0与Bx = 0同解 、矩阵列等价:AB o AQ = B (