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1、1、行列式1. n行列式共有”2个元素，展开后有n!项，可分解为2”行列式；2. 代数余子式的性质： 、.和气.的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|A| ；3. 代数余子式和余子式的关系：M = （-1）+.AA = （-1）+jMijifijij4. 设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1 = （-1）TD ；将D顺时针或逆时针旋转90o,所得行列式为D，则D = （-1）T D ；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D = D ；将D主副角线翻转后，所得行列式为D
2、，则D =D；5. 行列式的重要公式：44 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积x（-1广了 ； 、上、下三角行列式（I、1 = 1 I）：主对角元素的乘积；、r |和|,| :副对角元素的乘积x（-L ；、拉普拉斯展开式:=AIBI、=(-1加gn |A | B | 、 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;特征值；6. 对于n阶行列式|A|，恒有：魅-A| = M+f （-fE，其中Sk为k阶主子式;k =17. 证明|a| = 0的方法： 、Al = -AI ； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = 0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r（A） vn ；
3、 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：=AI尹0 （是非奇异矩阵）；=r（A） = n （是满秩矩阵）=A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组= 0有非零解；=.b e Rn， Ax = b 总有唯一解； A与E等价； A可表示成若干个初等矩阵的乘积; A的特征值全不为0； AtA是正定矩阵； A的行(列)向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A : AA* = A*A = Ae无条件恒成立;3.(A-1)* = (A*)-1(AB )t = BtAt(A-i)t = (At )-1(AB )* = B* A(A* )t = (At )*(AB
4、)-1 = B-1A-14.5.I、IaI = IaJIA2L Ia I；仔1-1II、A-1 =A-12A-1)sAO -1(k OB )=kf OA -1(k BO )=kf AC、-1(k OB )=kf AO、-1(k CB J=k、OA-1A-1OA-1O(主对角分块)(副对角分块)-A-iCBB-1 JA-1O -B-1CA-1 B-1)-1;(拉普拉斯);(拉普拉斯)矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和; 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：，则:3、矩阵的初等变换与线性方程组. E O1. 一个m xn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是
5、唯一确定的：F = ；k O O )mxn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A) = r(B) A : B ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非。元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) 、若(A, E) : (E , X)，则 A 可逆，且 X = A-1 ； 、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1 B，即：(A,B)(E,A-1 B)； 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程A
6、x = b，如果(A,b)： (E,x)，则A可逆，且x = A-1b ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、，左乘矩阵A，人乘A的各行元素；右乘,人乘A的各列元素;-1、对调两行或两列,符号 E(i, j)，且 E(i,j)-1 = E (i,j)，例如:-1、倍乘某行或某列,符号 E(i(k)，且 E(i(k)-1 = E(i4)， k例如:(k。0)；-1r1、倍加某行或某列,符号 E(ij(k),且 E(j(k)-1 = E (j(-k)如:(k 尹 0)；1J1J5. 矩阵秩的基本性质： 、0 r(A )
7、 min(m,n)； r(At ) = r(A)； 、若 A : B，则 r(A) = r(B)； 、若P、Q可逆，则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) + r(B)； 徐 、r(A + B) r(A) + r(B)；(淤 、r(AB) min(r(A),r(B)；(淤 、如果A是m xn矩阵，B是n x s矩阵，且AB = 0，U：(淤I、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；II、r(A) + r(B) r(A) + r(B) -n ；6. 三种特殊矩阵的方幂：
8、、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)X行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;r 1 a c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式；V 0 0 1J二项展开式:(a + b)n = C 0 an + C1 n-1b 1 + L + Cmian -mbm + L + Cn-1“1bn -1 + CnbnC mambn-mI、注：I、(a + b)n展开后有n +1项;n(n - 1)L L (n - m +1)n!Cm =n1g2我L gmm!(n-m)!C 0 = Cn = 1n nIII、组合的性质：Cm = Cn - mn nCm = Cm + Cm-1初 Cr = 2nrCr =
9、nCr-1 ；r=0 、利用特征值和相似对角化:7. 伴随矩阵：nr (A) = n、伴随矩阵的秩：r(A*) = 1r(A) = n -1 ；0r (A) n -1 、伴随矩阵的特征值：? (AX =人X,A = AlA-m A*X = AX); 、A* = AlA-1、A* | = Al-18. 关于A矩阵秩的描述： 、尸（A） = , A中有阶子式不为0, +1阶子式全部为0;（两句话） r（A） n，A中有n阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax = b，其中A为m xn矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax = b为
10、n元方程;10. 线性方程组Ax = b的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解; 、特解：自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、a x + ax+ L+ ax= b11 112 21n n 1a x + ax+ L+ ax= b21 122 22n n 2LLLLLLLLLLL 、 、 、 、f aaLa Y x 1f b 111121n11aaLaxb21222n2=2MMOMMMaLa_ 7x_ J b Ja x +a x +L +a x =bm1 1 m 2 2nm n nmo Ax = b （向量
11、方程，A为mn m七f ta ） x =P （全部按列分块，其中。=%.）； n MMa x + a x + L + a x = P (线性表出)1 12 2n nmxn矩阵,m个方程，n个未知数）I bn J有解的充要条件：r（A） = r（A, p） n（ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A : a ,a ,L ,a构成nxm矩阵A = (a ,a ,L ,a )；12m12m1p rM B r 7m个n维行向量所组成的向量组B : Pr, 0r ,L ,P构成m xn矩阵B =2.3.4.5.含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 、向量
12、组的线性相关、无关 o = 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出o Ax = b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示o AX = B是否有解；（矩阵方程）矩阵Am n与B xn行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解；（P101例14）r （Ar A） = r （A） ; （P01 例 15）n维向量线性相关的几何意义： 、a线性相关o a = 0 ; 、a, P线性相关oa, P坐标成比例或共线（平行）； 、a, p,丫线性相关 oa, p,y共面;6. 线性相关与无关的两套定理：若a ,a ,L ,a线性相关，则a ,a ,L ,a
13、 ,a 必线性相关；1 2s1 2s s+1若a ,a ,L ,a线性无关，则a ,a ,L ,a必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）1 2s1 2s-1若r维向量组A的每个向量上添上n -r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r）能由向量组B （个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s （二版七定理7）； 向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B）；（七定理3）向量组A能由向量组B线性表示o AX = B有解；o r（A） = r（A,B） （ P5 定理 2）向量组A能由向量组B等价or（A） = r（B） = r（A,B）（ P5定理2推论）8. 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P ,L ,P，使A = PP L P ；12 I1 2 I 、矩阵行等价：A B o PA = B （左乘，P可逆）o Ax = 0与Bx = 0同解 、矩阵列等价：AB o AQ = B （
