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1、课 余揽胜 数 学 化导数在实际生活中 的常生活等方面都有着广 重庆刘紫 阳应用导数知识是学习高等数学 的基础 , 它在 自然科令得 ( ) ( 2 ) , 又J矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。y=0 3x- 20 3x +400=0 0x0,时 , 又 促 进 了 生 产技 术和 自 然科 学 的 发 展 , 它 不 仅 $ 酽锕极額閉镇桧猪訣锥。在天文 物理 工程领域有着广泛 的应用 而且在 日、 、 , 故 当 x= 20 时 , y 取得最 小值 ,彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。3常生活及经济领域也是逐渐显示 出重要 的作用 .有效 即当 C导数是探讨数学乃至 自然科学 的重要 的 位于距点 A 为 2
2、0 km 时 , 使该点的烟尘 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。的工具之一 , 它也给 出了我们生活 中很 多 问题 的答浓度最低数数案 诸如 生活 中的有关环境 问题工程造价最省容评注 在经济高速 发展学的同时 , 人们也越来越 厦礴恳蹒骈時盡继價骚。爱爱好 积最大等 , 本文将介绍如何将 生活 中的有关数学 问 关心我 们赖 以生存 的环境质量 这提示我们不 能仅茕桢广鳓鯡选块网羈泪。好 , 鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。者题转化为相关 的导数 问题来求解 , 以此说 明如何应 求经济效益 , 同时应 当注意保护环境 .籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。专专一味地追业业 SS 用所学数学知识灵活地应用于生活 .类型二工
3、程造价 问题預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。精精心心 策策划划类型一环境 问题例 2 如 图所示某地为 了开发旅游资源 , 欲修渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。建一条连接的 山坡例 1 烟 囱向其周 围地 区散落烟尘造成环境污 风景点 P 和居 民区 O 的公路 , 点 P 所在 铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。考考染 , 已知落在地面某处 的烟尘浓度与该处到烟 囱的 面 与 山脚 所 在 水 平 面 所 成 的二 面 角 为 擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。(X距 离 的 平 方 成 反 比 , 而 与 该 烟 囱 喷 出 的 烟 尘 量 成 正 2 贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。点到平面 的距离 0 90 sin 0 = PPH=比 现
4、有两座烟 囱相距其 中 座烟 囱喷的公路AB20km B可供利用0.4出的烟尘量是试求 出两座烟 囱连线上从点 O山脚原有一段笔直km山脚修路的造价为万元 /km, 原有公路改点 C, 使该点的烟尘浓度最低 .分析 由题意知要确定某万元/km.当山坡上公路长度 坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。为 lkm (1点 的烟尘浓度最低 ,w费用为显然其烟尘浓度源 其造价 为 ( 2 ) 万元 蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。自这两座烟已知 ,囱, 与其距离密切相时,l +1 a .OAL AB PB 丄关 , 因此可考 虑先 设 出与某个烟 囱的距 离 , 从而表, ( ) , 3AB AB=1.5 km OA= km.
5、(1)示 出相应 的烟尘浓度 , 再确定其最小值 即可 .AB 上求一点 D, 使沿折线 PDAO 修建公 買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。解 不妨设 A 烟 囱喷 出的烟尘量是 1, 而 B 烟 小 ;綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。路 的总造价最囱喷 出的烟尘量为 8, 设 AC=x (其 中 0x0)D E 構氽頑黉碩饨荠龈话骛。x2 (20- x) 2在 上是否存在两个不3 AB沿折线PD E O修建公路的总造 价 小于 (2) 中得 到( ) ( 2 )2k 3x- 20 3x +400y =22的最小总造价 , 证 明你 的结论 .x (20- x)輒峄陽檉簖疖網儂號泶。#! 数学爱好者Page 2尧
6、侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。2余揽胜 数 学 化不 同的两 点 、为使事实上D E .AB位于 与 之 间总造价最小D BEAO故可设之 间 , 识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。EPE3凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。且BDw x +y w ,总造价为S万H1 1 1课在 上任取 显然不能 位于 与，D，A=x , AE =y , 02 恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。B2 x1 2 y111分析 由题 意知要 求 修 建 公路 的总造 价 最 小x - + y +3 - + 鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。类似于 ( ) 、 ( )a. 1 2S=1+ 2 24 *值 ,可以先建立相应的总造 价 函数 关系式 ,再确 定讨论知 , 2 x
7、1 1 , 2y1 3J当且仅 当x- -y+3 -x =1& 11其最小值即可 .2162 2 硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。解 ( )如图, , , 11 PH 述 两 个 不等 式 阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。丄a等号HBa PE丄 AB,同时成y =1 同时成立 时 , 上14由三 垂 线 定 理Aa取得最 小值 67J点、氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。BDa D 逆 定理 知, AB丄HB,OEP16釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。DHB以不存在这样 的点 、 , 怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。所以/ PBH是山坡与ED E 谚辞調担鈧谄动禪泻類。PH的总造价 小于 (2)中得所成二面角的平面角j则asin/ PBH= 0
8、 PB=立 , 此 时1 , ,1=AE=1 S4分别与点、 重合 , 所D E使沿折线PDE O修建公路设=1.0到 的最小总造价+61例 3 统计表 明 , 某种BD=x 0 xW 1.5.评注 在经济建设 的过程 中 , 常常涉及成本 问数数则 2 2 2 , PD=&x +PB =&x +1 1 2 .题 人们 总是想利用最少 的钱 办最 多 的事这就常学学嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。、 ,J爱爱记总造价为( )万元, 据题设有 ( ) ( 2f1xf1x = PD +1+ 常要求我们 善于将 相 关 的 问题恰 当地 转 化为数 学好好熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。者者1 2 1 11 3 鶼渍螻
9、偉阅劍鲰腎邏蘞。) x - x+ +&AD +AO a =2专专 纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。速 问题 颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。43精精心心 策策划划 濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。+& 3 a.1 2x-a =a +(业业SS问题 , 从而利用所学知识解决) ( 4类型三 最省钱车型号 的汽车在匀速 行驶 銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。1 1( 升 ) 关于行驶速 度 ( 千米 小 挤貼綬电麥结鈺贖哓类。当 即 时 总造价 x /赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。, ( ) , ( ) ;最小中每 小 时的耗 油量x= BD= km f1 x考4考 塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。1 3 3时)的函数解析式可 以表示为y= x - x+( ) 设 128000 80 裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺。2 AE=y 0 y 5, 总 造 价 为f y24已知 甲 乙两千米地相距(0x w 120)y 0 1 fy 0 f y +4 2 2 4 车从 甲地到 乙地行驶 了 瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉。解 (1) 当 x=40 时 , 汽100增 函 数.1 3 3 鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類。=2.5X 40 -X 40+8 X+)40
