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1、抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知,求.解：设,则2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知，求解：又，(|1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知
2、系数。例3已知二次实函数，且+2+4,求.解:设=，则=比较系数得4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当0时,求解:为奇函数，的定义域关于原点对称，故先求0,为奇函数，当0时例5一已知为偶函数，为奇函数，且有+，求,.解：为偶函数，为奇函数，,不妨用-代换+=中的,即显见+即可消去,求出函数再代入求出5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例6.已知，求的表达式解：用代替得到（1）又（2）2（1）-（2）得到，于是二、求值问题例7.已知定义域为的函数，同时满足下列条件：；，求的值。解：取，得因为，所以又取得评析：通
3、过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、定义域问题例8.已知函数的定义域是1，2，求的定义域。解：的定义域是1，2，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是1，4评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。例9.已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是。评析：这类问题的一般形式是：已知函数的定义域是，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知
4、的值域，据此求的取值范围。例2和例1形式上正相反。四、值域问题例10.设函数定义于实数集上，对于任意实数，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：令，得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。五、判断函数的奇偶性：例11已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：令=0,则已知等式变为在中令=0则2=20=1为偶函数。六、单调性问题例12.设定义于实数集上，当时，
5、且对于任意实数有，求证：在R上为增函数。证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而所以又当时，所以对任意，恒有设，则所以所以在上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例13：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。解：由得，为函数，又在（-1，1）内递减，八、对称性问题（1）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关于点成中心对称图形。（2）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关于点成中心对称图形。
6、（3）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关于轴对称。例14：如果=对任意的有,比较的大小解：对任意有=2为抛物线=的对称轴又其开口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，为增函数(3)(4),(2)(1)(4)九、周期问题命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.
