《辅助角公式的推导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辅助角公式的推导（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、欢迎阅读辅助角公式 asinb cosa2 b2 sin() 的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化a sinb cos为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等. 为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式a sinb cos=a2b2sin() 或a sinb cos=a2b2cos() , 让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用. 但事与愿违, 半个学期不到, 大部分学生都忘了 , 教师不得不重推一遍 . 到了高三一轮复习 , 再次忘记 , 教师还得重推 ! 本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导 , 体现一种解决问题的过程与方法 ,
2、 减轻学生的记忆负担 ; 同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法 , 帮助学生澄清一些认识 ; 另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用 , 优化解题过程与方法 ; 最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用 , 让学生把握辅助角与原生角的范围关系 , 以更好地掌握和使用公式 .一 . 教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1. 引例例 1求证：3 sin+cos=2sin （+） =2cos（-） .63其证法是从右往左展开证明, 也可以从左往右“凑” , 使等式得到证明 , 并得出结论 :可见 ,3 sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.一般地 ,asin+bcos是否可以化
3、为一个角的三角函数形式呢?2. 辅助角公式的推导例 2 化 a sinb cos 为一个角的一个三角函数的形式 .解 : asin+bcos=a2b2 (a2asin +bcos),b2a2b2 令a=cos,b=sin,a2b2a2b2则 asin+bcos=a2b2 (sincos+cossin)= a2b2 sin(+),( 其中 tan= b )a 令a=sin,b=cos, 则a2b2a2b2asin+bcos=a2b2 (sinsin+coscos)= a2b2 cos( - ),( 其中欢迎阅读atan= )b其中的大小可以由 sin、cos的符号确定的象限 , 再由 tanb的
4、值求出 . 或由 tan =a和(a,b) 所在的象限来确定 .推导之后 , 是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题 : 一是为什么要令a=cos,b=sin?让学a2b2a2b2生费解 . 二是这种 “规定”式的推导 , 学生难记易忘、易错 !二. 让辅助角公式 a sinb cos=a2b2 sin() 来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009 年春 . 我又一次代2008 级学生时 , 终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若 a=0 或 b=0 时， a sinb cos已经是一个角的一个三角函数的形
5、式，无需化简 . 故有 ab0.1. 在平面直角坐标系中 , 以 a 为横坐的 终标 ,b 为纵坐标描一点 P(a,b) 如图 1 所示 , 则总有一个角,它的终边经过点 P. 设 OP=r,r= a2b2 , 由三角函数的P(a,b定义知r)sinbb,= =a2rb2Oxcosaa.图 1=a2b2r所以 asin+bcos=a2b2 cossin+ a2b2 sincos=a2b2 sin() .( 其中 tan= b )a2. 若在平面直角坐标系中 , 以 b为横坐标 , 以 a 为纵坐标可以描点 P(b,a), 如图 2 所示 , 则总有y的终边一个角的终边经过点 P(b,a),设
6、OP=r,则 r=a2b2 .P(b,a)由三角函数的定义知sina=a,r=a2rb2cos= b =b.O图 2xra2b2欢迎阅读asin+bcos=a2b2 sinsina2b2 coscos=a2b2 co s() . (其中 tan= a )b例 3化3sincos为一个角的一个三角函数的形式 .解:在坐标系中描点P(3,1),设 角的终边过点 P,则 OP212 =2.sin13=r=3=,cos=.223sincos=2cossin +2sincos=2sin().tan3=.362k, 3sincos=2sin().6经过多次的运用 , 同学们可以在教师的指导下 , 总结出辅
7、助角公式asin+bcos=a2b2(ab2sin+a2bcos)=a2b2 sin() ,(a2b2其中 tanb). 或者=aasin+bcos=a2b2 (asin+bcos)=a2b2cos() ,(a2b2a2b2其中 tana)=b我想这样的推导 , 学生 理解 起来 会容 易得多 , 而且也更容 易理 解 asin+bcos凑 成a2b2 (ab2sin+bb2cos) 的道理 , 以及为什么只有两种形式的结果 .a2a2例 4化 sin3 cos为一个角的一个三角函数的形式 .解法一 : 点 (1,-3) 在第四象限 .OP=2.设角过 P 点. 则 sin3cos1,. 满足条22件的最小正角为 5,52k, kZ.33欢迎阅读sin3 cos2( 1 sin3 cos ) 2(sin coscossin)22解法二:点2sin() 2sin(52k ) 2sin(5).33P(-为3 ,1) 在第二象限 ,OP=2,设角过 P 点. 则 sin1, cos3
