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1、线性方程组单元练习题1(96年，数学一，6分).求齐次方程组XiX2X50x2x30的基础解系X3x4X50分析：求基础解系分三步：系数矩阵行变换到最简，写出通解方程组，自由变量取定值。n R(A)2,自由变量为X2,X5.通解方程组为:XiX2X5X3X4X50X2X50，则基础解系为1111000101012 .(98年，数学一，5分)已知线性方程组aii Xi 812X2a1,2n X 2n821X1(A)a22 X 2a2,2nx2n 0的一个基础解系为an1X1 an2X2 b1,2n)T ,(b21 , b22 ,b2,2n)Tan ,2n X 2n(bn1 ,bn2 ,0bn,2
2、n )T；试写出线性方程组01丫12 y2by2n0(B) b21y1b22y2,72n0的通解，并说明理由bn1 y1bn2 y2bn,2ny2n 0解：设方程组(A)的系数矩阵为A,(B)的系数矩阵为Bo由于B的每一行 即BT的每一列都是Ax 0的解，所以Bt满足ABt 0又BAT (ABt)t 0, AT的每一列即A的每一行是By 0的解。由此得到方程组(B)的 组 n 个解(a11 , a12 , , a1,2n ) , (a21 ,a22 , , a2,2n ) , (an1 , an2 , , an,2n ) 由于 01,62, b1,2n)T ,(b21 ,b22, b2,2n)
3、T,(61,62, ,2 n )是(A )的基础解系，故R(B) R(Sa) n,由(A)的解的结构 R(A) 2n R(Sa) n,即A的行向量组 线性无关,n,所以A的行向量是(B)的解又因为方程组(B)的解集是R(Sb) 2n R(B)空间的一组基。所以方 ki(311,312, ,ai,2n)其中 ki,k2, ,k程组(B)的通解为: k 2(321,322 , a2,2n )是任意常数(3n1,3n2,a,2n)T,3 .(04数学一，9分)设有齐次线性方程组(1 a)xiX2Xn 02xi (23)X2 2Xn 0,(n 2)nxi nx 2 (n a)Xn 0试问a为何值时，该
4、方程组有非零解，并求其通解。解：令系数矩阵为B.1 a 12 2 a系数矩阵223n n12A aE B,其中B111222n ann1 12 2.R(B)1 a002 0a0十n00a1,n(n/)n(nn(nB的特征值为n(n一1),0,0,0.2aE B, A的特征值为n(n 1)2 ,a,a,a.a吗河1,1AX 0 有非零解R(A) n A 0 a 0或 a-(n 1)n通解方程为:X1X 2(1,1,0,k2 2Xn 1 ,0)T, k,n(n 1)时,0,得基础解系为:(1,0,1, ,0)T,1,0,0,1)T,方程组通解为:a2ana通解方程组为:2x3xX2X300,R(A
5、)Xn令X1 1,得基础解系=1,2,1,自由变量有一个X1 ,n T,通解为k ,k为任意常数4 .(89数学一，6分)X1X3问 为何值时，线性方程组4X1 X2 2X36x1 x2 4x32有解，并求出解的一般形式 解：对增广矩阵进行初等行变换1 0 14 1 26 14 2方程组有解R(A) R(A,b) 1 0,1.此时R(A)R(A,b)2 3,方程组有无穷多组解。x, Xc 0齐次方程组的通解方程组为 13,令X3 1,得基础解系x2 2x3 0为一个解向量（1,2,1）T,x,X。10,得特解为T 1, 0 .非齐次方程组的通解方程组为 13，令X3x2 2x31为（1, 1,
6、0）二故方程组通解为：k 1, 2, 1T 1,Xx22x1x23X1(2 )X2已知1,1, 1,5.（04数学四，13分）设线性方程组X3 X40x3 2x4 0(4 )X3 X40试求1 T是该方程组的一个解,（小方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解（2）该方程组满足X2X 3的全部解解：将1,1,1,1 T代入方程组，得:(1)(A,b)1一时,(A,b)02012 101230通解方程组为：X1X3X23x12101210X412,令 X31k1 ,X4k2,则X1X2X3X43kl kkk2k11310121011210011 时,(A,b) 0 1101T令X
7、41,得齐次基础解系:1,2,1,1,令X41,非齐次特解为:全部解即通解为 k 2,1,1,0,1,0,21,0,0,(2)将X2 X3代入以上方程组的解1 ，、，1时，方程组为:2X1X2X33x3X4J2,令 X31k1, X4k2,则11210121X1X2X3X4k1 k223kl k2k1k2k11310k21210112100X2X3则k2 1k1k11一，“1k2 .因此令2X42k2,1k Xk2 , X221k2 ，X1Ik2X1X2X3X41414143k21k21 k2k22k232J21221414140将X2X3代入通解2,1,1,1, 0, 0,得kk,即k0,方程组有唯一解 1, 0, 0,
