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1、第二讲 行列式综合训练第一部分例 计算行列式，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是零.Dn解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质.方法方法方法方法利用性质，将行列式化为上三角行列式.1Dn=HI 1=(a-)an1 = aa仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式.rn 1Dn =C1Cn利用展开定理，将行列式化成对角行列式.Dnn n=a - a(1)nDn = a利用公式a0 0III 1n 1a 0卜+( 1)I4hIan 1ka 0n 1C1展开=a将最后一行逐行换到第HIn=a - a最后列展开= |A|B|.2行，共换了 n1)2n2次；将最后一列逐列换到第
2、 2列，也共换了n 2 次.Dn = ( 1)2(n 2)n n 2=a - a方法5利用公式例计算n阶行列式:aiDna1Ia2a2 b2ananbibjbn 0)a1a2IIIan bn解采用升阶（或加边）法该行列式的各行含有共同的元素a1,a2,|H，an，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素.j 2,| |,n 1色bilb01b1a1a2111anbi0b21IIIbn1aa2an1a1a2 Ian0a1 ba2an2 131I j I1000a p1a2 b2anl110b2 1*0p141川n 11f14iI
3、I *1p0paa；IIIpanbnp100Hlbn升阶Dn这个题的特殊情形是a1a2anDna1Ia2an=xn 1(xnaji 1a1a2IIIan可作为公式记下来.例计算n阶行列式:Dn解这道题有多种解法.方法1其中b 1方法2化为上三角行列式a2IIIan1a11 III1a1c1 J%b 1III 1ri r1a11a21aj j0 a2112,|,n11pj引卜114pa1an0annDn. ini 2 aia11 aiDn升阶（或加边）ai升阶Dn1c1cj 1aj方法3递推法.a1Dnriaja2Ia1Dn改写为a12,3,|,na10a2IIIanIIIana2a2III 1
4、IIIani 1 aianIII 1an按cn拆开1a11由于aia21 IO an1a11 11a111 a2 I1 1ri rna2RhP1+111II1i 1川,n 111 M 1a1a2 | 卄 an 11 a11a2按Cn展开anDn因此 Dn=anDn 1lba1a|an 1为递推公式，而 D1anDn =anDn 1 a1a2 川 an 1 = a1a2 1anDn 1a1a2anan=a02 川 a.Dn2a1a2an 2an 1an=a02 川 anD1a1a2III1an=吋2川a.a11川1a2an2x例 2 .4 设 f(x)3x，证明存在(0,1),使 f ()0.4
5、x证 因为f (x)是关于0,1上连续,(0,1)内可导，且111101f(0)1220, f(1)111133121的二次多项式多项式，在0 .由罗尔定理知，存在(0,1)，使 f ()例计算D =a2a4abb2b4c2c4cdd2d4解这不是范得蒙行列式,但可借助求解范得蒙行列式进行求解.其中方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作.r4 ar33 a211h an0baD0b(ba),2,22、0b (ba )11cadac(ca)d(da)2, 22、,2,22、c (ca )d (da )111bcdG展开=(b a)(c a)(d a)r3拆开=(b a)(
6、c a)(d111111bcd+ abcd 33 3,22.2bcdbcd2(b a) c2(c a) d2(d a)a)111E b2r2111r2 br1bcd0c bd bb33 cd30c(c2 b2)d(d2 b2)1=(c b)(db)c(cb)1d(d b)=(c b)(d b) d(d b) c(c b)111111由于bcd是范德蒙行列式，故bcd,22.2,22,2bcdbcd=(ca) (c b)(db)(db)(dc)b)(d c)c2c3q q1 a00baca方法2 D2.2222c4qabaca4,4444abacaD = (a b c d) (b a)(c a)
7、(d0da.22da.44da片展开=(b a)(c a)(d1a) b a(b2 a2)(b a)c ad a(c2 a2)(c a) (d2 a2)(da)qc3c1(ba)(c a)(d1a) b a2 2(b a )(b00c b d ba) xyq展开c b d b=(b a)(c a)(d a)x y，计算A41+A42 +其中Aj(j= 1,2, 3, 4)其中X2 2(c b)(a b2 2 cac bc ab) , y2(d b)(ab2 c2 adbd ab)D = (a b cd) (ba)(ca)(da) (cb)(d b)(dc)=(a b c d) (ab)(ac)
8、(ad)(bc)(b d)(cd)方法3用升阶法.由于行列式中各列元素缺乏3次幕的元素,在D中添加3次幕的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式:11 111ab cdXD5 =2 a.22b cd22 X3 33.33ab cdX4 44_ 44ab cdX3D5按第5列展开得到的是 X的4次多项式，且X的系数为A45(1)4 5dD又利用计算范得蒙行列式白勺公式得D5 = (b a)(ca)(da)(Xa) (cb)(db)(X b)(d c)(Xc)(x d)=(b a)(ca)(da) (cb)(db)(dc) (Xa)(Xb)(Xc)(Xd)=(b a)(ca)(da) (cb)(db)(dc)X4(a bcd)X3X3的系数为（ba)(ca)(da) (cb)(db) (dc) (abc d)由X3的系数相等彳导：D = (a b cd) (ib a)(ca)(da) (cb)(db)(dc)1135其中是| A|中元素a4j的代数余子式.解 直接求代数余子式的和工作量大.可将A41A42A43A44改写为1 A411 A421A431 a44，故All +A12 +A43 +Aa111151313412311111116 0 20230 1
