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1、第一节 导数的概念及其几何意义备考方向明确复习目标学法指导1. 导数概念的实际背景.2. 曲线的切线的定义、导数的几何意义、理 解导数的概念.3. 根据导数的定义求函数y=c(c为常数)，y二x,y二丄，y=X2,y=X3,y= 的导数.x1. 理解导数的概念，会 利用导数的定义，求一 些简单函数的导数.2. 熟记基本初等函数 的导数公式.3. 正确区分曲线在某 点处的切线与过某点 的切线.知识链条完善甸网络构建一、函数的平均变化率1. 概念:对于函数y二f(x), f(x2)-f(珥)=Ay,叫做函数y二f(x)从x到xx - xAx1221的平均变化率.2. 几何意义:函数y=f(x)图象
2、上两点(x ,f(x ),(x ,f(x )连线的斜11 2 2 率.3. 物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程，就是该质 点在x ,x 上的平均速度.1 2 二、导数的概念1. 函数y=f(x)在x=x处的导数0(1) 定义 称函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率lim业=lim f(x0+心)_f(x0)为函数Axt0 X Axt0X|x=x0y=f(x)在x=x处的导数，记作f (x)或y/ ，即f 0|(x )= Ay 二 n 0 lim limo0Axt0 Ax Axt0Ax(2)几何意义f (x. + Ax)_ f (x.).(x )的几何意义是在曲线y=f(x
3、) 上点0函数f(x)在x=x处的导数f0(x,f(x)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s( t)对时间t的0 0导数).相应地，切线方程为y-f(x)=f/ (x)(x-x ).0 002. 函数f(x)的导函数称函数f (x) = lim f(x+心)-f(x)为f(x)的导函数. 心t0心拓展空间1. 概念理解(1) 导数即为自变量改变量趋近0时，函数平均变化率的极限.(2) f/ (x)表示函数f(x)在x=x处的导数值；(f(x)是函数值f(x)0 0 0 0的导数，而函数值f (x )是一个常数,其导数一定为0,即(f(x )Y =0.00(3) 曲线y=f(x)在点P(x,y
4、)处的切线是指P为切点，切线斜率为00k=f / (x )的切线，是唯一的一条切线.曲线y二f(x)过点P(x ,y )的切0 0 0线,是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(4) 曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y=0(即x轴)是曲线y=X3 在点(0,0)处的切线.(5) 直线与曲线公共点的个数不是曲线的切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点，例如曲线y=x3在点(1,1)处的切线y=3x-2与曲线y=x3还有一个交点(-2,-8).2. 与导数几何意义有关的
5、结论(1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切 线方程.求曲线y=f(x)在点P(x ,f(x )处的切线方程，点P(x ,f(x )为切0 0 0 0点，当切线斜率存在(即f(x)在x=x处可导)时，切线方程为0y-f(x )=f(x )(x-x );当切线斜率不存在(即f(x)在x=x处不可导)0 0 0 0时，切线方程为x=x .0已知曲线f(x)的切线斜率为k,则切点(x ,f(x )的横坐标x就是0 0 0方程f(x)二k的解.0(4) 奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.(5) 周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同三、基本初等函数的导数
6、公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f (x)=0f(x)=xa(aEQ*)f (x)二axa-if(x)=sin xf (x)二cos xf(x)=cos xf (x)=-sin xf(x)=ax (a0,且 a# 1)f (x)=axln af(x)=exf， (x)=exf(x)=log x(a0,且 a#1)af， (x)= 1x ln af(x)=ln xf， (x)=丄xC3拓展空间公式理解利用公式求导时要特别注意不要将幂函数与指数函数的导数公式混淆,幕函数的求导公式为(xn) /二nxn-1,而指数函数的求导公式为(ax) ) =axln a.甸温故知新1. 若物体的运动方程
7、是S二t3+t2-1, t=3时物体的瞬时速度是(D )(A) 27 (B)31 (C)39 (D)33解析：因为v二s，=3t2+21,所以此物体在t=3时的瞬时速度为 3X32+2X3=33.故选 D.2. 曲线y=x3在原点处的切线(B )(A) 不存在(B) 有1条，其方程为y=0(C) 有1条，其方程为x=0(D) 有2条，其方程为x=0和y=03. 函数f(x)二exsin x的图象在点(0,f(0)处的切线的倾斜角为(C)(A) 3n (B) n (C) n (D) n4346解军析:因为 f，(x)=exsin x+excos x所以 f(0)=l,所以曲线y=f(x)在点(0
8、,f(0)处的切线的斜率为1.所以在点(0,f(0)处的切线的倾斜角为n4故选C.4如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f，(5)=.解析：由题意知切线的斜率k二f(5)=-l,f(5)=-5+8=3, 所以 f (5)+f (5)=3l=2.答案：25.已知曲线y=ln x的切线过原点，则此切线的斜率为答案：1e高频考点突破考点一平均变化率例1若函数f (x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Ax,l+ Ay),则Ay等于()Ax(A) 4(B)4x(C)4+2Ax(D)4+2(Ax)2解析：因为 Ay=2(1+A x) 2-1-1=2(
9、 A x) 2+4 A x, 所以Ay =4+2 A x.故选C.Ax迁移训练已知一质点的运动方程是s(t)=8-312,则该质点在1,1+A t这段时间内的平均速度是( A )(A)-6-3 A t (B)-6+3 A t (C)8-3 A t (D)8+3 A t 解析:因为 s=8_312,所以 A s=8-3(1+ A t) 2-(8-3 X 12)=-6 A t-3( A t) 2, 所以质点在1,1+A t这段时间内的平均速度为v = As =_6_3 A t.故选AtA.考点二导数的概念例2 (1)设函数f(x)=ax+3,若f =3,则a等于()(A)2(B)_2 (C)3(D
10、)_3(2)用导数的定义求函数y二丄在x=1处的导数.x(1)解析：f (x) = lim f(x + 心)一f(x)Ax T 0Ax= a (x + Ax )+ 3 - (ax + 3 )limAxT0Ax二卄 a - AxlimAx T0 Ax=a, 所以f (1)=a=3.故选C.解:记f (x)二丄,x则 A y=f(l+ A x)_f(l) =1 _11 + Ax二 1 -i：1 + Ax-I + Ax二(1 -、：1 + Ax)( + f( n)3333(C)f(- n )f (- n).故选 C.332. 已知函数f (x)二丄+x3+sin x,其导函数为f (x),则f(2e
11、 x +1020)+f (2 020)+f(-2 020)-f (-2 020)的值为(B )(A)4 040 (B)4(C)2(D)0解析：函数 f (x)二 4 +X3+sin x f(x)+f(-x)=+ 4ex =4,e x +1e x +1 e x +1f (x)=- 4e x +3X2+COS X,f (x)-f(-X)=0,(e x +1)2f(2 020)+f (2 020)+f(-2 020)-f (-2 020)=4,故选B.考点四 正确理解导数的几何意义 例4 (1)函数f(x)的图象如图所示，则下列关系正确的是()(A) 0f (2)f (3)f(3)-f(2)(B) 0f (2)f(3)-f(2)f (3)(C) 0f (
