《2020版高考数学大二轮复习 课时作业15 圆锥曲线的综合问题 文》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020版高考数学大二轮复习 课时作业15 圆锥曲线的综合问题 文(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、课时作业 15圆锥曲线的综合问题12019河北邢台模拟已知椭圆y21上两个不同的点A,B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解析:(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为yxn.由消去y,得x2xn210.因为直线yxn与椭圆y21有两个不同的交点,所以2n220,将AB的中点M的坐标代入ymx,解得n,由得m.故m的取值范围是.(2)令t,则t2.|AB|,点O到直线AB的距离d.设AOB的面积为S(t),则S(t)|AB|d ,当且仅当t2时,等号成立,此时满足t2.故AOB面积的最大值为.22019上海静安区模拟设m0,椭圆:1与双曲线C
2、:m2x2y2m2的焦点相同(1)求椭圆与双曲线C的方程;(2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,分别交双曲线C于点P,Q(P,Q不同于右顶点),若k1k21,求证:直线PQ的斜率为定值,并求出此定值解析:(1)由题意,得2mm21,所以m1.所以椭圆的方程为y21,双曲线C的方程为x2y21.(2)双曲线C的右顶点为(1,0),因为k1k21,不妨设k10,则k20)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程解析:设直线
3、AB:ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0,则x1x22pk,x1x22p.(1)由x22py得y,则A,B处的切线斜率的乘积为,点N在以AB为直径的圆上,ANBN,1,p2.(2)易得直线AN:yy1(xx1),直线BN:yy2(xx2),联立,得结合式,解得即N(pk,1)|AB|x2x1|,点N到直线AB的距离d,则SABN|AB|d2,当且仅当k0时,取等号,ABN的面积的最小值为4,24,p2,故抛物线C的方程为x24y.42019贵州贵阳监测已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,为M为短轴的上端点,0,
4、过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,|AB|.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点(2,1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G,H两点,若k1,k2分别是直线MG,MH的斜率,求k1k2的值解析:(1)由0,得bc,将xc代入1中,得y,因为|AB|,所以,又a2b2c2,所以a,b1,故椭圆C的方程为y21.(2)根据题意设直线l的方程为y1k(x2)(k1),即ykx2k1(k1),将ykx2k1代入y21中,得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0,由题意知16k(k2)0,得2k0)和圆C2:(x1)2y22,倾斜角为45的直线l1过C1的焦点,且l1与C2相切(1)
5、求p的值;(2)动点M在C1的准线上,动点A在C1上,若C1在A点处的切线l2交y轴于点B,设,求证:点N在定直线上,并求该定直线的方程解析:(1)依题意,设直线l1的方程为yx,因为直线l1与圆C2相切,所以圆心C2(1,0)到直线l1:yx的距离d,即,解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)解法一依题意设M(m,3),由(1)知抛物线C1的方程为x212y,所以y,所以y,设A(x1,y1),则以A为切点的切线l2的斜率k,所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0,则yxy112y1y1y1,即B点的坐标为(0,y1),所以(x1m,y13),(m,y13),所以(x12m,6),
6、所以(x1m,3),其中O为坐标原点设N点坐标为(x,y),则y3,所以点N在定直线y3上解法二设M(m,3),由(1)知抛物线C1的方程为x212y,设直线l2的斜率为k,A,则以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x.联立得,消去y,得x212kx12kx1x0.因为144k248kx14x0,所以k,所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0,得B点坐标为,所以,所以(x12m,6),所以(x1m,3),其中O为坐标原点,设N点坐标为(x,y),则y3,所以点N在定直线y3上62019全国卷已知点A(2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨
7、迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.()证明:PQG是直角三角形;()求PQG面积的最大值解析:本题主要考查轨迹方程的求法、直线与椭圆的位置关系,意在考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力,考查方程思想、数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算(1)由题设得,化简得1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点(2)()设直线PQ的斜率为k,则其方程为ykx(k0)由得x.记u,则P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0)于是直线QG的斜率为,方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG,yG),则u和xG是方程的解,故xG,由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG,即PQG是直角三角形()由()得|PQ|2u,|PG|,所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk,则由k0得t2,当且仅当k1时取等号因为S在2,)单调递减,所以当t2,即k1时,S取得最大值,最大值为.因此,PQG面积的最大值为.- 1 -