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1、量子力学试题集量子力学期末试题及答案（A)选择题（每题3分共6分)1黑体辐射中的紫外劫难表白：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B. 黑体在紫外线部分不辐射能量;C.典型电磁场理论不合用于黑体辐射公式；D黑体辐射在紫外线部分才合用于典型电磁场理论。2有关波函数 的含义，对的的是:A. 代表微观粒子的几率密度;.归一化后， 代表微观粒子浮现的几率密度；C. 一定是实数;D. 一定不持续。3.对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是:DA.偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先变化偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D每个光子以一定的几率通过偏振片。4.对于一维
2、的薛定谔方程，如果是该方程的一种解，则：AA. 一定也是该方程的一种解；B一定不是该方程的解；与 一定等价;D无任何结论。5.对于一维方势垒的穿透问题,有关粒子的运动，对的的是：CA. 粒子在势垒中有拟定的轨迹;B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒;粒子不能穿过势垒。6如果以表达角动量算符，则对易运算为:BA ihB. ihC.7如果算符、对易,且 A,则:B. 一定不是 的本征态;. 一定是 的本征态;C一定是 的本征态；.一定是的本征态。8.如果一种力学量 与 对易,则意味着：CA.一定处在其本征态；B一定不处在本征态；C.一定守恒;D.其本征值浮现的几率会变化。9.与
3、空间平移对称性相相应的是:. 能量守恒;.动量守恒;.角动量守恒；宇称守恒。1如果已知氢原子的n2能级的能量值为-.4ev,则 =5能级能量为：D. -1.51ev；B.-.85v;-0.37ev;D. -0544e1.三维各向同性谐振子，其波函数可以写为，且 l=N-2，则在一拟定的能量 （）下，简并度为：B.;B.；N(N+);D.（N1)(+2)2.判断自旋波函数 是什么性质:CA. 自旋单态;B.自旋反对称态；.自旋三态；D. 本征值为1.二 填空题（每题4分共24分)1如果已知氢原子的电子能量为，则电子由=5 跃迁到n4 能级时，发出的光子能量为:，光的波长为。2.如果已知初始三维波
4、函数 ,不考虑波的归一化,则粒子的动量分布函数为 =，任意时刻的波函数为。3.在一维势阱(或势垒） 中，在x点波函数（持续或不持续）,它的导数(持续或不持续)。4如果选用的函数空间基矢为 ,则某波函数 处在态的几率用 Dirac符号表达为,某算符 在 态中的平均值的表达为。5.在量子力学中，波函数 在算符操作下具有对称性,含义是,与 相应的守恒量一定是算符。6金属钠光谱的双线构造是，产生的因素是。三计算题(4分)1.设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为:V(x)0，当0x，V(x)=，当x0,求粒子的能量和波函数。(10分)2.设一维粒子的初态为,求。(10分）计算表象变换到表象的变换矩阵。（1
5、0分)4 。4个玻色子占据3个单态 ，,把所有满足对称性规定的态写出来。（1分）卷一、（共25分）、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点?(4分) 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态?（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子构成的全同粒子体系的波函数。(4分）、在一维状况下,求宇称算符和坐标的共同本征函数。（6分）5、简述测不准关系的重要内容,并写出时间和能量的测不准关系。(5分）二、(1分)已知厄密算符,满足，且，求1、在表象中算符、的矩阵表达;、在A表象中算符的本征值和本征函数;3、从表象到表象的幺正变换矩阵S。三、(1分)线性谐振子在时处在状态 ，其中，求、在时体
6、系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、(1分）当为一小量时，运用微扰论求矩阵 的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、(10分)一体系由三个全同的玻色子构成, 玻色子之间无互相作用. 玻色子只有两个也许的单粒子态. 问体系也许的状态有几种?它们的波函数如何用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态;简并态是指一种本征值相应一种以上本征函数的状况;将波函数中坐标变量变化符号,若得到的新函数与本来的波函数相似，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子构成的全同粒
7、子体系的波函数为：4、宇称算符和坐标的对易关系是：，将其代入测不准关系知，只有当时的状态才也许使和同步具有拟定值，由知，波函数满足上述规定，因此是算符和的共同本征函数。5、设和的对易关系,是一种算符或一般的数。以、和依次表达、和在态中的平均值，令 ，则有 ,这个关系式称为测不准关系。时间和能量之间的测不准关系为:二、1、由于，因此算符的本征值是,由于在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵,因此,在A表象中算符的矩阵是: 设在表象中算符的矩阵是,运用得:;由于，因此，;由于是厄密算符,令，(为任意实常数)得在A表象中的矩阵表达式为：、在A表象中算符的本征方程为:即 和不同步为零的条件是上述方程的系数行
8、列式为零,即 对有：,对有：因此，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和、从表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵,即三、解:、的状况:已知线谐振子的能量本征解为: ， 当时有：,于是时的波函数可写成:,容易验证它是归一化的波函数,于是时的能量取值几率为：,，能量取其她值的几率皆为零。能量的平均值为:、 时体系波函数显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间变化,故时体系能量的取值几率和平均值与的成果完全相似。四、解:将矩阵改写成:能量的零级近似为:,能量的一级修正为:,能量的二级修正为:,因此体系近似到二级的能量为：，,先求出属于本征值1、2和的本征
9、函数分别为：,运用波函数的一级修正公式,可求出波函数的一级修正为：，近似到一级的波函数为:,五、解:由玻色子构成的全同粒子体系,体系的波函数应是对称函数。以表达第个粒子的坐标，根据题设,体系也许的状态有如下四个:(1)；（)(3)； (4）一、（20分)已知氢原子在时处在状态 其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值,写出时的波函数。 解 已知氢原子的本征值为 ， （1）将时的波函数写成矩阵形式 (2）运用归一化条件 （）于是，归一化后的波函数为 (）能量的也许取值为,相应的取值几率为 (）能量平均值为 （)自旋分量的也许取值为,相应的取值几率为 （）自旋分量的平均
10、值为 (8) 时的波函数 (9)二. (分)质量为的粒子在如下一维势阱中运动 若已知该粒子在此势阱中有一种能量的状态,试拟定此势阱的宽度。解 对于的状况,三个区域中的波函数分别为 (）其中, (2）运用波函数再处的连接条件知,。在处,运用波函数及其一阶导数持续的条件 (3)得到 （4)于是有 (5)此即能量满足的超越方程。当时，由于 (6）故 (7)最后得到势阱的宽度 （8)三、（20分) 证明如下关系式（1)任意角动量算符满足 。证明 对分量有同理可知,对与分量亦有相应的成果，故欲证之式成立。投影算符是一种厄米算符,其中,是任意正交归一的完备本征函数系。证明 在任意的两个状态与之下,投影算符
11、的矩阵元为 而投影算符的共軛算符的矩阵元为 显然,两者的矩阵元是相似的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。运用证明,其中,为任意正交归一完备本征函数系。证明 四、（2分) 在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中,分别计算算符、与的矩阵元,进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解 在与表象下，当轨道角动量量子数时,显然,算符、与皆为三维矩阵。由于在自身表象中,故是对角矩阵,且其对角元为相应的本征值，于是有 （1）相应的本征解为 （2）对于算符、而言,需要用到升降算符，即 （3)而 （)当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且, (5）只有当量子数相差时矩阵元才不为零,即 （6）于是得到算符、的矩阵形式如下 （7)满足的本征方程为 （8）相应的久期方程为 （9)将其化为 (10）得到三个本征值分别为 ()将
