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1、简单的线性规划【知识要点】1、二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般的，二元一次不等式AxByC0在平面区域中，表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线不等式AxByC0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.(3) 二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：可在直线AxByC0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的正(或负)来判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域当C0时，常把
2、原点(0，0)作为特殊点也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：（）ykxb表示直线上方的半平面区域；ykxb表示直线下方的半平面区域（）当B0时，AxByC0表示直线上方区域；AxByC0表示直线下方区域； 当B0时，AxByC0表示直线上方区域；AxByC0表示直线下方区域.注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(
3、 Ax2+By2+C)02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)02简单线性规划(1)基本概念：目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如zxy，zx2y2等约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解可行解：满足线性约束条件的解(x，y)称为可行解可行域：由所有可行解组成的集合称
4、为可行域(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：分析并将已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数，求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解【例题讲解】例1、(1)若点(3，1)在直线3x2ya0的上方，则实数a的取值范围是_；(2)若点(3，1)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围是_解：(1)将直线化为，由题意，得，解得a7(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(332a)3(4)12a0，即(a7)(a24)0，所以，实数a的取值范围是(7，24)例2、(1)如图，写出能表示图中阴影部分的不等式组
5、；解：(1)(2)如果函数yax2bxa的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域(2)由题意，得b24a20，即(2ab)(2ab)0，所以，或，点(a，b)表示的平面区域如图所示例3、（1）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 解：作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为（，），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：（2）不等式组所表示的平面区域的面积为_解：不等式可化为或；不等式可化为或在平面直角坐标系内作出四条射线：， ，则不等式组所表示的平面区域如图，由于与、与互相垂直，所以平面区域是一
6、个矩形根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和所以其面积为例4、若满足,求（1）的最大值与最小值；（2）的最值；（3）的取值范围；（4）的最大值与最小值；。解：（1）；（2）；（3）；（4）（5）例5、某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克。今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z90x100y(千克
7、)由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域作直线l：90x100y0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值这里M点是直线2x3y12和5x4y20的交点，容易解得，此时z取到最大值答：当每天提供甲原料千克，乙原料千克时，每日最多可生产440千克产品例6、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z10x10y的最大值是 _ .解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x，y)的可行域如图所示作直线xy0，通过平移，知在M点，z10x10y有最大值，易得又由题意，知x，
8、yN，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z取最大值，所以，zmax10510490例7、已知不等式组 所表示的平面区域为面积等于的三角形,则实数的值为_1例8、若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为_例9、若x，y满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是_（，2 ）例10、设x，y满足约束条件 ，若目标函数 的值是最大值为12，则的最小值_练习：1、设直线l的方程为：，则下列说法不正确的是（C ）A点集的图形与x轴、y轴围成的三角形的面积是定值B点集的图形是l右上方的平面区域C点集的图形是l左下方的平面区域D点集的图形与x轴、y轴围成的三角形的面积有最小值
9、2、已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线的异侧，则（ D ）A B0 CD 3、在约束条件下，则目标函数的最优解是（ D ） A（0，1），（1，0） B（0，1），（0，-1） C（0，-1），（0，0） D（0，-1），（1，0）4、已知实数x，y满足，若zaxy的最大值为3a9，最小值为3a3，则实数a的取值范围为()CAa1 Ba1 C1a1 Da1或a15、已知变量x，y满足约束条件，且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，则m()C A2 B1 C1 D46、当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数zkxy取得最大值的一个最优解
10、为(1,2)，则实数k的取值范围是()BA(，11，)B1,1C(，1)(1，)D(1,1)7、满足的整点的点（x，y）的个数是 138、已知x, y满足约束条件的最大值为 39、已知x，y满足求：(1)z1xy的最大值；(2)z2xy的最大值；(3)z3x2y2的最小值； (4)的取值范围（5）的最大值与最小值；解：如图，作出已知不等式组表示的平面区域易求得M(2，3)，A(1，0)，B(0，2)(1)作直线xy0，通过平移，知在M点，z1有最大值5；(2)作直线xy0，通过平移，知在A点，z2有最大值1；(3)作圆x2y2r2，显然当圆与直线2xy20相切时，r2有最小值，即z3有最小值；
11、(4)可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以z4的取值范围是(，23，)10、已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则b的取值范围是 11、求由约束条件确定的平面区域的面积和周长解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），其四个顶点为O（0，0），B（3，0），A（0，5），P（1，4）过P点作y轴的垂线，垂足为C 则AC=|5-4|=1，PC=|1-0|=1，OC=4，OB=3，AP=，PB=得=， 所以=+=， =OA+AP+PB+OB=8+12、某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别
12、需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张.则 目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值，解方程 得M的坐标为（2，3）.答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.13、实系数一元二次方程x2ax2b0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积； (2)的取值范围；
