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1、. .2021年8月4日初中数学试卷一、综合题共9题；共135分1.如下列图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M2，4，与x轴交于A、B两点，且A6，0，与y轴交于点C1求抛物线的函数解析式；2求ABC的面积；3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使APC的面积最大.假设能，请求出点P的坐标；假设不能，请说明理由2.2021乌鲁木齐如图，抛物线y=ax2+bx+ca0与直线y=x+1相交于A1，0，B4，m两点，且抛物线经过点C5，01求抛物线的解析式；2点P是抛物线上的一个动点不与点A、点B重合，过点P作直线PDx轴于点D，交直线AB于点E当PE=2ED时，求P点坐标；是否存在点P使B
2、EC为等腰三角形.假设存在请直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由3.2021如图，二次函数y=ax2+bx+ca0的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为3，0，顶点C的坐标为1，41求二次函数的解析式和直线BD的解析式；2点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；3在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为2 .假设存在求出点Q的坐标；假设不存在请说明理由4.2021如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A3，0，B2，3，C0，3，其顶点为D1求抛物线的解析式；2设点M1，m，当MB+MD的
3、值最小时，求m的值；3假设P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值；4假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EFND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形.假设能，求点E的坐标；假设不能，请说明理由5.2021如图，两直线l1， l2分别经过点A1，0，点B3，0，且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为0，时，恰好有l1l2，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点1求抛物线的函数解析式；2试说明DG与DE的数量关系.并说明理由；3假设直线l2绕点C旋转
4、时，与抛物线的另一个交点为M，当MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标6.如图，抛物线y=ax2+bx+ca0的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A1，0，C0，3两点，与x轴交于点B1假设直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；2在抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；3设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标7.如图，抛物线y=ax2+bx+ca0与x轴相交于A1，0，B3，0，与y轴交于点C0，31求抛物线的解析式；2连接BC，点P为抛物线上第一象限一动点，当BCP面积最大时，求
5、点P的坐标；3设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形.假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，说明理由8.2021如图，抛物线y=ax2+bx3经过点A2，3，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB1求抛物线的解析式；2点D在y轴上，且BDO=BAC，求点D的坐标；3点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形.假设存在，求出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由答案解析局部一、综合题1.【答案】1解：设此函数的解析式为y=ax+h2+k，函数图象顶点为M2，4
6、，y=ax+224，又函数图象经过点A6，0，0=a6+224解得a= ，此函数的解析式为y= x+224，即y= x2+x3；2解：点C是函数y= x2+x3的图象与y轴的交点，点C的坐标是0，3，又当y=0时，有y= x2+x3=0，解得x1=6，x2=2，点B的坐标是2，0，那么SABC= |AB|OC|= 83=12；3解：假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F设Ex，0，那么Px， x2+x3，设直线AC的解析式为y=kx+b，直线AC过点A6，0，C0，3，解得，直线AC的解析式为y= x3，点F的坐标为Fx， x3，那么|PF|= x3 x2+x3= x2 x，S
7、APC=SAPF+SCPF= |PF|AE|+ |PF|OE|= |PF|OA|= x2 x6= x2 x=x+32+ ，当x=3时，SAPC有最大值，此时点P的坐标是P3，【考点】二次函数的应用【解析】【分析】1根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；2易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得ABC的面积，即可解题；3作PEx轴于点E，交AC于点F，可将APC的面积转化为AFP和CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此假设设设Ex，0，那么可用x来表示APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可
8、解题2.【答案】1解：点B4，m在直线y=x+1上，m=4+1=5，B4，5，把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2+4x+52解：设Px，x2+4x+5，那么Ex，x+1，Dx，0，那么PE=|x2+4x+5x+1|=|x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|x2+3x+4|=2|x+1|，当x2+3x+4=2x+1时，解得x=1或x=2，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P2，9；当x2+3x+4=2x+1时，解得x=1或x=6，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P6，7；综上可知P点坐标为2，9或6，7；设Px，x2+4x+5，那么
9、Ex，x+1，且B4，5，C5，0，BE= = |x4|，CE= = ，BC= = ，当BEC为等腰三角形时，那么有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，那么 |x4|= ，解得x= ，此时P点坐标为，；当BE=BC时，那么 |x4|= ，解得x=4+ 或x=4，此时P点坐标为4+ ，4 8或4，4 8；当CE=BC时，那么 = ，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为0，5；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为，或4+ ，4 8或4，4 8或0，5【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】1由直线解析式可求
10、得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；2可设出P点坐标，那么可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，那么可求得P点坐标；由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，那么可求得P点坐标3.【答案】1解：抛物线的顶点C的坐标为1，4，可设抛物线解析式为y=ax12+4，点B3，0在该抛物线的图象上，0=a312+4，解得a=1，抛物线解析式为y=x12+4，即y=x2+2x+3，点D在y轴上，令x=0可得y=3，D点坐标为0，3，可设直线BD解析式为y=kx+
11、3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=1，直线BD解析式为y=x+32解：设P点横坐标为mm0，那么Pm，m+3，Mm，m2+2m+3，PM=m2+2m+3m+3=m2+3m=m2+ ，当m= 时，PM有最大值3解：如图，过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，设Qx，x2+2x+3，那么Gx，x+3，QG=|x2+2x+3x+3|=|x2+3x|，BOD是等腰直角三角形，DBO=45，HGQ=BGE=45，当BDQ中BD边上的高为2 时，即QH=HG=2 ，QG= 2 =4，|x2+3x|=4，当x2+3x=4时，=9160，方程无实数根，当x2+3x=4时，解得x=
12、1或x=4，Q1，0或4，5，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为1，0或4，5【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】1可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，那么可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；2设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；3过Q作QGy轴，交BD于点G，过Q和QHBD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得DHG为等腰直角三角形，那么可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标4.【答案】1解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=x22x+32解
13、：配方，得y=x+12+4，顶点D的坐标为1，4作B点关于直线x=1的对称点B，如图1，那么B4，3，由1得D1，4，可求出直线DB的函数关系式为y= x+ ，当M1，m在直线DN上时，MN+MD的值最小，那么m=1+ = 3解：作PEx轴交AC于E点，如图2，AC的解析式为y=x+3，设Pm，m22m+3，Em，m+3，PE=m22m+3m+3=m23mSAPC= PE|xA|= m23m3=m+ 2+ ，当m=时，APC的面积的最大值是4解：由1、2得D1，4，N1，2点E在直线AC上，设Ex，x+3，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，那么Fx，x22x+3，EF=DNx22x+3x+
14、3=42=2，解得，x=2或x=1舍去，那么点E的坐标为：2，1当点E在线段AC或CA延长线上时，点F在点E下方，那么Fx，x22x+3，EF=DN，x+3x22x+3=2，解得x= 或x= ，即点E的坐标为：，或，综上可得满足条件的点E为E2，1或：，或，【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题【解析】【分析】1根据待定系数法，可得答案.2利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B，连接BD，BD与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值.3根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二
