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1、椭圆考点与题型归纳、基础知识1 椭圆的定义平面内与两个定点 Fi, F2的距离的和等于常数2a(2a |FiF2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个 定点Fi, F2叫做椭圆的焦点.2 椭圆的标准方程(1) 中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 羊+ b = 1(a b 0).(2) 中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2+ b = 1(a b 0).3.椭圆的几何性质标准方程|2+ b2= 1(a b 0)琴 + 吝 1(a b 0)范围|x|w a, |y|w bXS b , |y|w a对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标(a,0), ( a,0),(0
2、, b), (0,b)(b,0) , ( b,0) ,(0 ,a) ,(o , a)焦点坐标(c,0), ( c,0)(0 , c), (0 , c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为 b, ab?离心率c? e=_.aa, b, c的关系a2= b2 + c2?长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心.?离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a,从而b=. a2 c2越小，因此椭圆越扁.、常用结论2b2过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b，过焦点最长弦为长轴.a过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长 2b.2 2 2 2与椭圆 拿+ 2= 1(ab0)有共焦点的椭圆方程为 孑*产
3、諾7厂1(心一b2).焦点三角形：椭圆上的点P(xo, yo)与两焦点Fi,F2构成的 PF1F2叫做焦点三角形.若ri= |PFi|,r2= |PF2|,Z FiPF2= 0, PF1F2 的面积为 S,则在椭圆x2y2= 1(a b 0)中:b 当r1= r2，即点P为短轴端点时，0最大；1 S= 2|PF1|PF2|sin 0= c|yo|,当yo= b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc;厶PF1F2的周长为2(a+ c).第一课时椭圆及其性质考点一椭圆的标准方程典例(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长、短半轴长之和为10,焦距为45，则椭圆的标准方程为() y
4、4a.孑 += 164x2y2 彳C + = 13616x2b.+36d.x2+49已知中心在坐标原点的椭圆过点A( 3,0)，且离心率e=，则椭圆的标准方程为3解析(1)由长、短半轴长之和为10,焦距为 4 5,可得 a+ b= 10,2c= 4 5, 8= 2.5.又a2= b2 + c2,.a2= 36, b2= 16. ：焦点在x轴上，.所求椭圆方程为2 2x _y_36 于 16=1.故选C.若焦点在x轴上，由题知a = 3,因为椭圆的离心率，所以c=.5, b = 2,所以椭圆方程是9 + 4 = 1.若焦点在y轴上，则b= 3, a2 c2= 9,又离心率e= = 35,解得a2
5、81=-4，所以椭圆方程是2 2 2 2答案c(2)X9+ y_ =1 或81+X9=1题组训练1. （2018济南一模）已知椭圆Cb= 1(a b 0)，若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为x2 y2A +13632( )x2 y2 B.g + 8 =1底 + = 116 12解析：选B椭圆长轴长为6,即 2a = 6,得 a = 3,两焦点恰好将长轴三等分，1e2c= 3 a = 2,得 c= 1,b2= a2 c2= 9- 1 = 8,一x2 y2此椭圆的标准方程为+ g = 1故选B.1且它的一个顶点2椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，若椭圆C的离心率等于-,
6、 恰好是抛物线x2= 83y的焦点，则椭圆 C的标准方程为 .2 2解析：由题意设椭圆的方程为+ b= 1（a b 0）.由题设知抛物线的焦点为（0,2.3），所以椭圆中b = 2.3.因为e= c=舟，所以a= 2c,a 2a= 2c,又 a2 b2= c2,联立 b= 2 3,解得 c= 2, a= 4,a2 b2= c2,所以椭圆c的标准方程为+12= 1.答案：右12=13已知椭圆中心在原点，且经过A( 3, 2)和B( 2.3, 1)两点，则椭圆的标准方程解析：设所求椭圆方程为mx + ny = 1(m0, n0, m n).3m+ 4n = 1,依题意有12m+ n = 1,m=1
7、5,解得1所求椭圆的方程为 琴+ = 1.答案:25考点二椭圆的定义及其应用2 :典例(1)(2019郑州第二次质量预测)已知椭圆C:拿+ b2= 1(a b 0)的左、右焦点2分别为F1, F2,离心率为3，过F2的直线I交C于A, B两点，若 AF1B的周长为12,则椭圆C的标准方程为()A.f + y2 = 1x2yB.X3+ 专=1x2 y2C.9+yx2 y2d6+电=1(2)已知点P(x, y)在椭圆36+106 = 1 上, F1, F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2的面积为18,则/ F1PF2的余弦值为 .解析 由椭圆的定义，知|AF1|+ AF2= 2a, |BF1|+ |
8、BF2= 2a,所以 AF1B的周长为c 2AF1I+ |AF2| + |BF1|+ |BF2|= 4a = 12,所以 a = 3因为椭圆的离心率 e=； = ：，所以 c= 2,所 a 322以b2= a2 c2= 5,所以椭圆C的方程为倉+ y = 1,故选D.9522(2)椭圆 36+ 100= 1 的两个焦点为 F1(0, 8), F2(0,8),由椭圆的定义知|PF1|+ |PF2|= 20 ,两边平方得 |PF1|2+ |PF2|2 + 2|PF1|PF2|= 202 ,由余弦定理得 |PF1|2+ |PF2|2 2|PF1|PF2| cOF1PF2= 162,两式相减得 2|P
9、Fi|PF2|(1 + cos/FiPF2)= 144.1又 SPFiF2 = 2IPF1 |PF2|sin/FiPF2= 18,所以 1 + cosZF1PF2= 2sin ZF1PF2,3解得 cosZF1PF2= 5.3答案(1)D(2)5变透练清x2 v21 已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3,则P到另一个焦点F2 2516的距离为()A 2B 3C. 5D 7解析：选D 因为a2= 25,所以2a= 10,由定义知，|PF1 + |PF2|= 10,所以|PF2|= 10 |PF1|= 7.2.变结论 若本例(2)条件不变，则 PF1F2的内切圆的面积为 .解析：由椭圆的
10、定义可知 PF1F2的周长的一半为 a+ c= 18,所以由三角形的面积公式 S= pr(其中p, r分别为三角形的周长一半，内切圆的半径 )，得r = 1，所以APF1F2的内切圆 的面积为n.答案：n考点三椭圆的几何性质考法(一)求椭圆离心率的值(或范围)典例(1)(2018全国卷H )已知F1, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1丄PF2，且/ PF2F1 = 60贝U C的离心率为()込A 1 2C雨-1C. 2B 2 3D. 3 1(2)已知椭圆2 2E:字+器=1(ab 0)的右焦点为F，短轴的一个端点为 M，直线l: 3x 44y= 0交椭圆E于A, B两点.若|A
11、F|+ |BF| = 4,点M到直线l的距离不小于5，则椭圆E的离心率的取值范围是（）B13 一4?332 132 A CC. 8D. 10解析在 Rt汙F1F2 中，/PF2Fi= 60 不妨设椭圆焦点在 x轴上，且焦距|FiF2|= 2,则|PF2|= 1 , |PFi|= .3,2 2由椭圆的定义可知，在方程 拿+ *= 1中，厂1 +32a = 1 + ,3, 2c= 2，得 a=2, c= 1,所以离心率c（2）根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A, B两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a=2(|AF|+ |BF|)= 8,所以 a= 2又 d =|3X 0 4X b|45,所以1 点
12、，那么IMF1+ MF2|的最小值是（）A. 4B. 6即使不画出图形，思考时也要联PF丄x轴,解析:选D不妨设点P在第一象限，因为PF丄x轴，所以xp= c,将xp= c代入椭圆&2&2|PFI方程得 yP= a，即 |PF|= a，贝U tan/PAF =詣bf= 结合 b2= a2 c2,整理得 2c2+ ac a+ c 2解析设 M(X0, yo), F1( 3,0), F2(3,0). 则MFi = ( 3一xo, yo), MF2= (3一 xo, yo), 所以 MF 1 + MF2= ( 2xo, 2yo),|MF 1 + MF2|= 4x2+ 4诡=4X 25 1 y6 + 4 =因为点M在椭圆上，所以ow yo 所以当yo= 16时，|MF1 + MF2|取最小值为8.答案C解题技法椭圆几何性质的应用技巧（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析,想到图形.椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，aw x a, bw y b,ov ev 1,三角形两边之和大于
