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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上 咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞 赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话
2、）：A甲0701所属学校（请填写完整的全名）：科技大学参赛队员（打印并签名）：1.唐坤2. 春林3. 雪指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年_9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文针对储油罐的变位识别与罐容表的标定问题，利用投影积分法、近似替代法、多项式拟合以及误差修正函数建立了罐体变位后罐容表的标定模型。对于模型一，首先利用投影积
3、分法分别求得无变位与纵向倾斜角度两状态下油位高度对应储油量的理论值 V理论；将此理论值与对应实际数据对比可得储油 量误差，再分别对无变位时误差散点与两个状态误差的差值散点进行分析并拟合 其曲线，由此便可确立的一次函数为修正函数并建立模型：V h,V理论 h,f1 h 4.1 f2 h最后通过Matlab符号积分进行模型求解。倾斜角度为4.1。时罐容表的标定值详见 表1 0对于模型二，首先利用投影积分法及倾斜球缺的油面近似替代法分别求得无 变位与纵向倾斜角度横向偏转角度两状态下油位高度对应储油量的理论值V理论；将无变位状态的理论值与其实验数据对比得储油量误差并拟合误差曲线， 由此建立含参数的修正
4、函数并建立模型：V h, ,V理论 h , ,f1 hah2 bh c然后利用计算机枚举搜索算法确定最小误差对应，的值分别为4.1。,9.3。，对应a,b,c的值分别为：1.7 10 5,0.16, 18，变位后罐容表的标定值详见表 2。对于模型二的检验，可通过对比相同油位高度对应标定模型的理论值与对应 实验数据，依据所得最大误差与总容量之比0.22%判断此模型较为准确。关键词：投影积分修正函数拟合 计算机枚举搜索算法问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进 / 出油量与罐油位高度等 数据，通过预先标定的罐容表
5、（即罐油位高度与储油量的对应关系） 进行实时计 算，以得到罐油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照 有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图 1是一种典型的储油罐尺寸及形 状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图 2是其罐体纵向倾斜变位的示意 图，图 3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响， 利用如图4的小椭圆型储油罐 （两 端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为
6、=4.1 0的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件 1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表 的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为icm的罐容表标定值。（2）对于图 1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即罐储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的 一般关系。请利用罐体变位后在进 / 出油过程中的实际检测数据（附件 2），根据 你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件 2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正 确性与方法的可靠性。二、问题分析由于测量时油位探针的下端固定于
7、油罐底端， 因此当罐体变位后所测罐油位 高度与储油量对应关系较变位前发生变化， 即罐容表的标定值改变。 为研究罐体 变位后对罐容表的影响需分别建立无变位和有变位两种状态下罐容表的理论标 定模型，然后与实际测量值进行误差分析，对模型进行修正得到最终模型。2.1 问题一的分析对于问题一， 首先，考虑倾斜前后两种状态下的理论模型。 对于无变位状态 储油罐形状为两端平头的椭圆柱体， 所以可直接将其简化为几何模型， 将储油量 转化为平卧椭圆柱体在某高度h时的容积计算。此时油液所在立体为一规则的立 体，可以通过简单的积分计算求得。 对于变位倾斜角为 状态，不考虑油浮子达 到罐体顶端后对应储油量变化， 并依
8、据油位高度 h 将倾斜后的几何模型分为四个 部分计算。 根据投影法思想， 罐油液上表面面积可用其在罐体侧面的投影面积计 算，再通过微元法积分求解每一部分对应储油量，即得倾斜后罐容表的理论值。其次，将所得油位高度对应储油量的理论值与对应实际数据对比得储油量误 差，并对无变位时误差与两状态下误差之差分别进行分析并拟合其曲线， 利用所 得曲线分析倾斜角变化与相应的误差变化， 并确立修正函数并进行模型修正， 最 后通过 Matlab 符号积分从而可得储油量和油位高度及变位参数的关系2.2 问题二的分析对于问题二， 要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即罐储油量与油 位高度及变位参数（纵向倾斜角度
9、 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。首先，考虑变位前后两种状态下的理论标定模型。 变位前的理论模型可分为一个圆柱体与两个球缺体两部分并通过三重积分求解。对于横向偏转，通过垂直 罐体底部的剖面图分析可知，不管是否有纵向倾斜，横向偏转前测量油位高度h 与偏转后测量高度h为一与横向偏转角 有关的固定函数，因此变位后可先只考 虑纵向倾斜再进行变量代换即可。而对于纵向倾斜时的测量高度与对应的理论储 油量间的函数可类似模型一进行分段求解。由于罐体倾斜，液面与球缺的高度并不平行，但实际情况中倾角很小，因此可近似等效为球缺在垂直地面时液面为某 高度H的容积计算，H可通过与h的几何关系求的。球缺在垂直地面时液面
10、为 某高度H 的容积计算可通过简单的多重积分得出。罐身的容积与液高函数可同 模型一利用投影法求的，由此便得变位前后的理论标定模型。其次，将无变位状态的理论值与其实验数据对比得储油量误差并拟合误差曲 线，由此分析倾斜角变化与相应误差变化的关系并建立含参数的修正函数对模型 进行修正。然后利用计算机枚举搜索算法确定最小误差对应的，以及a,b,c的值，由此确定变为后罐容表的标定模型并利用实验所得数据隐形相关检验。三、模型假设1）实际情况下储油罐变位角度不大。2）储油罐无严重变形，或有微小变形但可忽略不计。3）进出油量与油位高度的测量与时间点无关，或在短时间可忽略其微小影响。4）所测油罐属性均为测法测得
11、，即可忽略油罐厚度对实验的影响。5）在试验的短期温度、气压等没有剧烈变化。四、符号说明符号说明V储油量h油位高度L实际储油罐主体部分身长d小椭圆型储油罐身长1h两次变位后的油位高度五、模型的建立与求解5.1模型一测量时油位探针的下端固定于油罐底端，因此当罐体变位后所测罐油位高度 与储油量对应关系较变位前发生变化即罐容表的标定值改变。为研究罐体变位 后对罐容表的影响需分别建立无变位和变位倾斜角为两种状态下罐容表的标定模型，然后进行比较分析最终确立罐体变位后对罐容表的影响模型。5.1.1数据处理观察实验所得进 出油数据，现不妨取无变位时两项数据作为研究对象。理 论上某咼度下的容积只与其油液咼度有关
12、，与其状态是进油还是出油无关，此 处可利用定量分析进一步验证。无变位出油所采集的数据为累加出油量而并没有给定出油前的总储油量，因此可利用数据中最大的油位高度1150.72m对应于进口数据中累计进油量为3656L ,再加上罐油量的初值262L便可得累加出油量为52.72L后油罐剩余油量 为3656L 262L，利用此方法可得累计储油量对应剩余油量。由此可分别作出 进 出油过程油罐容量依据油位变化的曲线图一。图一：进 出油过程油罐容量依据油位变化的曲线由图一易观察出进 出油过程两曲线重合，即某高度下的容积只与其油液高 度有关，与其状态是进油还是出油无关，因此模型建立过程不考虑进出油的影 响。5.1
13、.2罐容表的理论标定模型I无变位状态由图二可看出油罐形状为两端平头的椭圆柱体，由此将油罐储油量简化为几何图形的容积进行计算。 斬2.05n*I.Teni小楠風油需无变悅正面示焉图攜截面示意图图二：小椭圆型油罐形状及尺寸示意图1）图二中阴影部分即为油罐油位高度为h时对应储油的纵截面，其面积可利用 定积分计算：依据图立的直角坐标可得油罐纵截面椭圆方程：2 2X2 占 1 其中 a 0.86m,b 0.6m a b由得x的表达式x a 1 y2，由此利用图一所示阴影部分的围积分得其面积S为:h bS 2 ab1 dy1 y2dydl 其中 d 2.45md h bV 2 a0 b2）利用上述对其进行
14、二重积分可得油罐油位高度为h时对应储油量V为:用定积分公式对求解得罐容表的理论标定模型:V a d (h b) h 2b h b2arcsin - bbU变位倾斜角为的状态其中罐体变位致使第依据对应油位高度可将油罐分为图三所示五部分，部分储油量围对应高度均为油位高度的最大值即此时油浮子到达油罐顶端，因 此可将此罐体简化为只考虑前四个部分的几何模型築部分第漏分第1却势图三：油罐五部分及对应纵截面第1部分1）确定油位高度由图三易观察出储油量位于第1部分时油浮子位于罐体底端，即油位高度不 随储油量增加而增加其值始终保持h 0 02）储油量V的计算此时储油量与油位高度无关因此可直接计算第1部分的最大储
15、油量Vi。现利用微元法取油罐厚度为dy1的油层，其对应横截面为图四中Sabc，在XY平面的投影为Sabd，则有:SSabdSabcsin其中Sabd可利用椭圆方程进行定积分算出，则有:SaBC则有厚度为dyi的油层体积为:VSabc dyi0.4si n ，贝U有:而第一部分最大储油量油层厚度为Vo其中di0.4m? 第2部分(1)确定油位高度的变换围由图三易观察出第2部分油浮子开始随储油量增加而上升，可计算其最大储 油量对应油位高度h d2 tan 。由此确定油位高度h的变化围：h (0, d2 tan 储油量V的计算此时储油量V1由两部分组成：一部分为第1部分的最大储油量V。；另一部分 为罐油的上表面到第2部分的下线间的油量，现对其计算：同样利用微元法取油罐第2部分厚度为dyi的油
