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1、 I题源探究黄金母题【例1】已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为，根据基本不等式，即，当且仅当时，等号成立，即最小值是精彩解读【试题来源】人教版A版必修5 第100页，练习2【母题评析】本题考查应用基本不等式求最值作为基础题，是历年来高考的常考点【思路方法】和定积有最大值，积定和有最小值II考场精彩真题回放【例2】【20xx高考湖南，文7】若实数满足，则的最小值为 ( )A B2 C2 D4【答案】C【解析】（当且仅当时取等号），的最小值为，故选C【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用本题能较好的考查考生分析问题解决问题
2、的能力、转化与化归能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活运用基本不等式首先和与积互化【例3】【20xx高考福建文5】若直线过点，则的最小值等于 （ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】由已知得，则，故，当，即时取等号【命题意图】本题考查直线方程以及运用均值不等式求解析几何中的最值问题【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题【难点中心】活用“1”，“以常驭变”运用均值不等式求解有关的最值问题III理论基础解题原理不等式称为基本不等式，常见的与这个
3、不等式有关的其它不等式有：等IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏难【技能方法】（1）基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀（2）必须掌握的三个不等式：，则（当且仅当时取等号）；，则（当且仅当时取等号）；，则（当且仅当时取等号）【易错指导】（1）注意不等式成立的条件是，若，应先转化为，再运用基本不等式求解（2）“当且仅当时等号成立”的含义是“”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它
4、往往会导致解题错误（3）有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，要切记等号成立的条件V举一反三触类旁通考向1 利用基本不等式求函数最大值、最小值【例3】【20xx全国大联考1山东卷】已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A B C D【答案】A【名师点睛】（1）利用基本不等式求函数最大（小）值：“和定积最大，积定和最小”；（2）应用基本不等式求函数最值时“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可【跟踪训练】【20xx海南中学考前模拟】设均为正数，且，则的最小值为（ ） A16 B15 C10 D9【答案】D考向2 均值不等式应用题【例4】【吉林省长春外国语学校高三上
5、学期期末数学（理）试题】某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高05x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（ax）万元（a0）（）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围（）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式【分析】（）由题意，12（500x）（1+05x%
6、）12500，即可求x的取值范围（）利用生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，建立不等式，即可求a的最大值a+2=4，当且仅当=，即x=250时等号成立，0a55，a的最大值是55【名师点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生解不等式的能力，属于中档题选择适当的函数模型，列车函数解析式，利用基本不等式求函数最值【跟踪训练】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值【答案】（1），；（2）隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元【解析】（1）当时，.（2），设， 当且仅当，即时，等号成立.这时，因此的最小值为70即隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元
