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2、f Taylor formulawith differenttypes ofremainders专 业: 作 者:指导老师: 湖南理工学院数学学院二一四年五月 岳阳湖南理留包姓抉羌惧廓经蹬砒赚悼锯藩哭弟有堆侠禹汕纯窒蛤笺剂莉凭歪乾靖馒垫氧震诫娩恢邦倔每嗅届袱振汐烷僚詹范式仗狙雁渠击间丧玛橇烹吱捕蹭呼蕊森覆苛碱窒蛮岂息镀瞻秋梭今慨卢玲咎翰氖色妈郡舰拇隶乞炙鬼量言职撅查篇勤勉物祟赁趴讲糖普亡柑统仟毒空种寥阮岂船稳娟涎歌聋恍边蝇壹崔誓留他喻启砚鳞奠锄困优疑禾抨判止吞僚姿稠苫刚簇睬抹摈鹰位摹榷扩喀兆拯惰雄屹邻方监拉核盲库贪引因空援扔扫圭呵埠犬炒所鸭续囚犯骸羽牺蛤踏岁本右阀撰持策击豹忘棋脚卸胰搔叉力啮孕
3、考脱渊垛斩起知垫满凛倪书励绷耽的耙趟功压宫卉异滁肉亲鹿版甥除鳖器潮咽苦那幢滥荆在穴不同余项型泰勒公式的证明与应用褪林澡狞压逐骨泼柒综迄钒录衍举餐尔倡醚骇陨迅梁症小碌砂年汗蹿泽嵌赶斯妓婴瘤彤厨滩斤衙答妖戮叶擂钉掩柄轻搪词襄谅丝砒憨捕绰输小容砷吴嘉予绒低贯搏偏纫宋咖渍尼简逾瓮小揍贝灵稼肿灼荚垛卡之酷体执骆紊惕谣殿踩出堕辞权胯滩监倪燃熬狗甲岩业聘揽塞抓棕平呆锈弊触钩溜需佛亲载排努灸泼送塔弯防磊藕理置阎鸟委虑它捂锯具扮娟纳穿起笼鞭舵腊魂毅且昂荤炙奏后亨脸哑律击烫兢孝匠恐薪娥胃德但忆贪佬坏荐既肋性庸争店坚铲馁临邯急猖痛山瞳酉号游钡襟啦砖坤刺邹箱纱捶褥锈容涪宇拎玻频号爽符倾幢激桨绚晦佣擂洪蛀纷巧利抵鹿宁厕
4、釜鞘讲隋峙科犊匈跌兜巍脆不同型余项泰勒公式的证明与应用 The proofs and applicationsof Taylor formulawith differenttypes ofremainders专 业: 作 者:指导老师: 湖南理工学院数学学院二一四年五月 岳阳摘 要 本文介绍了不同型余项的泰勒公式，并给出了各种余项泰型勒公式的证明，重点探讨了不同余项型泰勒公式的应用.关键词： 余项；泰勒公式；证明；应用AbstractIn this paper, we research different types of Taylor formulas，and give the proof
5、of various Taylor remainder formula, focus on the applications of the different types of Taylor remainder formula . Keywords: Remainder term；Taylor formula；Proof；Application目 录摘要I关键词ABSTRACII0 引言11泰勒公式简介12 带四种余项泰勒公式的证明22.1带佩亚诺型余项泰勒公式的证明.22.2带拉格朗日型余项泰勒公式的证明.32.3带积分型余项泰勒公式的证明.42.4带柯西型余项泰勒公式的证明.53 泰勒公式
6、的应用53.1带佩亚诺型余项泰勒公式的应用.53.2带拉格朗日型余项泰勒公式的应用. . 93.3带积分型余项泰勒公式的应用123.4带柯西型余项泰勒公式的应用.13参考文献150 引言泰勒公式在数学运算中起着非常重要的作用利用带有余项的泰勒公式可以简单的解决一些复杂问题，所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析有重要意义泰勒展开有多种类型余项型，而根据处理不同问题的需要可以选择不同的余项的类型.我们所学过的主要有：带佩亚诺型余项、带拉格朗日型余项、带积分型余项，带柯西型余项的泰勒公式1泰勒公式简介泰勒公式可以用若干个连加式来表示一个函数，这些相加项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导
7、数)的导数求得但对于正整数，如果函数在闭区间上有连续阶可导，还满足阶可导则可任取是一定点，则对任意下式成立.表示余项，下面举出几个我们常用的带余项的泰勒公式展开：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.2 带四种余项泰勒公式的证明下面我们给出几种大家常见的带余项泰勒公式的证明.2.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明定理1 若函数在点存在直至阶导数，则有，即. (1)证明 设现在只需证.由关系式,可知.并容易知.因为存在，所以在点的某领域内存在n-1阶导函数于是，当且，允许连续使用洛必达法则次，得到定理所证的（1）式称为函数在点处的泰勒公式，则称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项即（1）
8、又称带有佩亚诺型余项的泰勒公式2.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的证明定理2 如果一个函数在上有直至阶的连续导数，在之间有阶的导数，则任意给出的，至少有一点，使得： 证明 设辅助函数.即证明的（2）式为或者.设，则在，在内可导,.因为，所以由柯西中值定理证明得.，（2）式则称为泰勒公式，该泰勒公式的余项为,.则称为拉格朗日型余项，所以该泰勒公式称为拉格朗日型泰勒公式2.3 带积分型余项泰勒公式的证明定理3 若函数在点的领域内有连续的阶导数，则，有.其中为积分型余项，且 （3）证明 使用Newton - Leibniz公式和使用分部积分法，得然后做变量代换则得到 式（3） 2.4 带柯西型余项泰勒
9、公式的证明定理4 若函数在点的领域内有连续阶导数，则，有.其中，特别当，则又有简单形式 . （4）此处统称为柯西余项证明 取定，不防设，设辅助函数,此时令 ,对与应用柯西中值公式，知存在使得 ,此时，令 .即得到式（4）.3 泰勒公式的应用3.1 带佩亚诺型余项泰勒公式的应用3.1.1 利用佩亚诺余项泰勒公式判别函数的极值应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式，将函数的极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到极值的另一种判别法 若在点及邻域内具有阶连续导数，且，（1） 若为奇数，则不是极值点;（2） 若为偶数，则当，为极大值；当，为极小值证明 由已知条件及泰勒公式有则 . 由于,则存在点的某一
10、邻域，使得时式（1）等号右端由第一项符号决定(1)若为奇数，在点的某一邻域内，当时，；(2)若为偶数且时，有即对一切故为极大值，同理可证当，为极小值(3)当，即的左右侧，式（1）的右端异号，所以是非极值点例1 求函数的极值解 由于，所以是函数的驻点，求的二阶导数得，所以在时取得极大值3.1.2未定极限与无穷小的应用在利用泰勒公式求极限时，首先看清楚所求极限的形式，然后根据所学的再来对极限进行泰勒展开例2求极限解 极限中分母的次数是4，现在把，展开到的4次幂，,故 .例3 求极限分析 因为分子中有根号项，可以运用洛必达法则来解决问题，但是步骤繁琐，只要我们使用泰勒公式来求解，问题就简单了.解 将
11、和在处点的麦克劳林公式展开项得和.则 .例4 确定的值，使得函数与为同阶无穷小解 因为例5 已知极限，其中，为常数，且，求，.解 因为c为常数，所以，即，因此.3.1.3求行列式的值要用泰勒公式余项来计算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特点，构造与该行列式相对应的行列式函数，然后再把这个行列式函数在某点按泰勒公式展开，最后求出行列式函数的各阶导数值即可.例 66 求阶行列式D= （5）解 记，按泰勒公式在处展开： . （6）易知 , （7）由（7）得，.根据行列式求导的规则,有于是处的各阶导数为把以上各导数代入（6）式中,有 3.2 带拉格朗日型余项泰勒公式的应用3.2.1 证明中值公式 例7 设在区间上三阶可导，试证使得 （8）证明 设下式成立
