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1、立体几何中的轨迹问题（总16页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是 近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题， 既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化 为平面的轨迹问题来处理的基本思想。一轨迹为点例1已知平面a II P，直线l ua，点Pe l，平面a,P之间的距离为8, 则在p内到P点的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是( )A.个圆 B.两条直线C.两个点 D.四个点解析:设Q为p内一动点，点P在p内射影为0,过0,
2、i的平面与p 的交线为1，丁 PQ=10,.OQ二訂02二2 = 6点Q在以0为圆心6为半径 圆上，过Q作QM丄i于M,又.点Q到直线i的距离为9. QM= 32石=帀则点Q在以1平行距离为五7的两条平行线上.两 条平行线与圆有四个交点.这样的点Q有四个，故答案选D。点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用 平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。二. 轨迹为线段例2.如图，正方体ABCD - ABC D中，点P在侧面BCCB及其边界1 1 1 1 1 1上运动，并且总保持AP丄BD，则动点P的轨迹是（）。1ABA.线段BC B线段BCC. BB中点与CC中点连成的线
3、段1 1 1 1D. BC 中点与 BC 中点连成的线段11解：连结AB , AC,BC，易知AB丄ABD所以1 1 1 1 1AB 丄 BD , AC 丄 BD ,BC 丄 BD，所以BD 丄面 ABC，若 PG BC，贝0 APu1 1 1 1 1 1 1 1平面ABC，于是BD丄AP，因此动点P的轨迹是线段BC。1 1 1评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P的轨迹。例3 已知圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，0为底面中心,M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM 丄 MP ， 则点P的轨迹是。形成的轨迹的长度为解析:在平面SAB中，过M作AM的垂线交AB于C,在
4、底面上，过C 作AB的垂线分别交底面圆于D,E两点，则AM丄面MDE,DE即为点P 的轨迹，又AO=1,MO二込，AM=G,从而AC= 7,0C=令,所以2 2 4 4DE= 2,R2匚所以填上线段；匸.422三. 轨迹为直线例4 （北京高考题）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，过点B 作直线l与AB垂直，则直线1与平面a交点的轨迹是（）A圆 B.椭圆 C.条直线 D.两条平行直线解析：由题意可知直线i的轨迹应是过点B且与AB垂直的平面，该 平面与平面a交点为一条直线，故答案选C四. 轨迹为圆弧例5如图，P是棱长为1的正方体ABCD - ABCD表面上的动点，1111面A1C1,面DC1内
5、分别有A且AP二迈，则动点P的轨迹的长度为一解析：由已知AC=AB =AD二辽，在面BC ,1 1 1BP=A1P=DP=1,所以动点P的轨迹是在面叫面A1C1,面DC1内分别以B,D,A为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度1五. 轨迹为平面例6.不共面的四个定点到平面a的距离都相等，这样的平面a个数为()A.3 B. 4C.6D. 7解析：以不共面的四个定点为顶点构造四面体，则满足条件的平面 a 可分两类。第一类是中截面所在的平面有4个；第二类是和一组 对棱平行且经过其它各棱中点的平面有3个，故满足条件的平面a 个数为4 + 3 = 7.故答案选D.评注：本题关键在于构造空间四
6、边形，利用四面体的性质去求解。六. 轨迹为圆例7,如图，三角形PAB所在的平面a和四边形ABCD所在的平面3 垂直，且 AD 丄a,BC 丄a，AD=4，BC=8，AB=6， ZAPD = ZCPB，则点 PaDC:/B在平面a内的轨迹是（）A圆的一部分 B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析:由条件易得AD|BC,且ZAPD = ZCPB , AD=4, BC=8,可得tan ZAPD AD CB =tan ZCPB, 即 PB CB = 2 , 在平面PAB内以AB所在的PA PBPA AD直线为X轴，AB的中点0为坐标原点，建立直角坐标系，则A （-3, 0） ,B （
7、3, 0）,设P（x,y）,则有昏二亘三二2，整理可得PA 仏+3 ）2 + y 2个圆的方程即X 2 + y 2 +10 x + 9二0（xH 0）。由于点P不在直线AB上，故此轨迹为圆的一部分故答案选A.点评:本题主要考查空间轨迹问题,是在立体几何与解析几何的交汇 处命制的创新题,既考查了空间想象能力,又考查了代数方法（坐标 法）研究几何轨迹的基本思想。七. 轨迹为抛物线例8.如图，正方体ABCD - ABCD的棱长为1,点M在棱AB 上,且1111AM=1，点P是平面ABCD 上的动点，且动点P到直线AD的距离与动31 1点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是（）A.圆B.抛物线
8、C.双曲线 D.直线AlB-i分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题,因此我们可以把 立体关系转化到平面上去,利用解析几何的知识将问题解决。解： 设PF丄AD于点F，过点P作PE丄AD于点E，连纟口 EF，则AD丄11平面 PEF, . AD 丄 EF，即 EF/ AA。因为 |PF|2 - |PM|2 = 1，且PF|2 -1= |PF|2 -|EF|2 = |PE|2，所以|PE| = |PM| o 由抛物线定义知点 P 的 轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，故应选B.评注：从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平 面比立体简单，直线又比平面简单，这是复杂向简单的转化
9、。八轨迹为椭圆例9，(浙江高考题)如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P 在平面a内运动，使得AABP的面积为定值，则动点P的轨迹是a( )A圆B.椭圆C. 一条直线 D.两条平行直线 解析:由题意可知AABP的面积为定值.点P到AB的距离也为定 值，.点P在空间中的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面，又点P 在平面a内运动，所以动点P的轨迹应该是圆柱面被平面a所截出 的椭圆。故答案选Bo 点评:本题主要考查轨迹问题，注意交轨法的应用。九.轨迹为双曲线 例10.(2010年重庆高考题)到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A.椭圆B.
10、抛物线C.双曲线 D.直线解析：构造正方体模型，在边长为a的正方体ABCD - ABCD中，DC1111与A D是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于11A D，以D为原点，分别以DA,DC为x轴,y轴建立平面直角坐标11系，设点P(x,y)在平面ABCD内且到DC与AD之间的距离相等，所11以 |x| = ，y2 + a2，. x2 - y2 二 a2。故合案选 C点评：本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用 解析几何法求解，实现从立体几何到解析几何的过渡，这里用解析 几何的知识解决立体几何中的计算问题，恰好是当今高考的命题方 向。本题考查立体几何，解析几何
11、知识，考查学生的空间想象能 力，灵活运用知识解决问题的能力和创新意识，构造正方体模型， 简化了思维难度。十.轨迹为球例11.如图，在棱长为6的正方体ABCD - ABCD中，长度为4的线1111段MN的一个端点N在DD上运动，另一个端点M在底面ABCD上运1动，则MN的中点P的轨迹与其顶点D的正方体的三个面所围成的几AB何体的体积是。解析：由ND丄平面ABCD二nd丄DM 在RtANDM中，P为斜边MN的中点, 则DP = iMN = 2故点P的轨迹是以D为球心，2为半径的球面，与其2顶点D的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体。因此V = 1 X 4 X 冗 X 23 = 3.833点
12、评:本题主要考查空间想象能力和推理能力以及球的体积计算，确定点P的轨迹是关键。含两个变量的不等式化归和构造策略近几年在高考试题的函数压轴题中，经常出现含有两个变量的 不等式证明问题，面对两个变量学生会感觉无从下手，造成找不到 解题的突破点；下边通过几道例题，让大家感受化归和构造的策 略。策略一：当两个变量可以分离时，根据其两边结构构造函数 利用单调性证明不等式。例1 (201 0年辽宁文科21 )已知函数f (x)二(a + l)ln x + ax 2 +1 -(I) 讨论函数f (x)的单调性；(II) 设 a 0, 故 f (x) 在 (0,+ g)单调增加;当aW 1时，广(x)V0,故
13、f(x )在(0,+ g)单调减少;当一IVaVO 时，令 f(x) =0,解得 x=.当 xG (0,2a-01)时,2a广(x) 0； XG (:琴1 , + J 时，广(x) VO,故 f(x)在(0,a+1 )单调增加，在(2a上1 , + )单调减少.2ax -x | 等价于 f (x ) - f (x ) $4x厂4x2 ,即 f (x2) +a 1()不妨假设12 x -x 12 解：f (x)的定义域为(0, +S)。 a -1x2 -axa-1 (x-1)(x1-a) 2分 j (x) = x a +=2 分 (i )若 a -1二 1 即 a 二 2,则ix2-由于g2,故
14、f(x )在(，+ S )单调减少.所以 | f (* - f (x2)| 44x $f(x)+ 4x .令 g(x)二f(x)+4x,则 g，(x) = = + 2ax +4 =2 1 1 x2ax 2 + 4 x + a +1于是g，(x) W -4x2 4x一 1 = -(2x一I)2 WO.x从而g(x)在(0, + S )单调减少，故g(x) Wg(x),12即 f(x)+ 4x Wf(x)+ 4x ,故对任意 x ,x G(0,+ s),1 1 2 2 1 2|f (x ) - f (x )| 41x -x -112 i 12当 exe2 时，1 ln x 1。 2(1) 讨论函数f (x)的单调性；(2) 证明：若a -1。f (x ) - f (x )f(x) = (x -1)2 故 f (x)在(0, +Q 单调增加。 x.(ii)若 a 1 v 1，
