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1、第十五章傅里叶级数1 傅里叶级数教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理教学要求(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定 理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍 引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)教学建议(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)(2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展 开的方法与步骤教学程序一、 Fourier 级数的定义背景：12兀波的分析：频谱分析基频-(T =兰).倍频.T 函数展
2、开条件的减弱 : 积分展开 Rn中用Descartes坐标系建立坐标表示向量思想的推广：调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师 Fourier 建立了 Fourier 分析 理论的基础.(一)定义 设f (x)是(-8, +8)上以2兀为周期的函数，且f (x)在-兀,兀上绝对可积，称形如ao + 兰(a cosnx +b sin nx)2nnn =1的函数项级数为f (x)的Fourier级数或三角级数(f (x)的Fourier展开式)，其a = JK f (x)dx， a =丄兀 f (x)cos nxdx, n = 1,2,0 兀一Kn兀一K1 fb = 兀 f (x)sin nx
3、dx, n = 1,2,n 兀 -K称为f (x)的Fourier系数，记为f (x)a +(a cos nx + b sin nx)2nnn=1定理15.1若级数乜+另(I a I + I b I)收敛，则级数2 n nn=1ao +艺(a cos nx + b sin nx)在R内绝对且一致收敛.2nnn=1证明：用M判别法.二)说明1)在未讨论收敛性，证明ao +艺(a cosnx + b sinnx) 一致收敛到f (x)之前,2nnn=1不能将“ ”改为“ = ”；此处“ ”也不包含“等价”之意，而仅仅表示ao + 艺(a cosnx + b sinnx)是 f (x)的 Fouri
4、er 级数，或者说 f (x)的 Fourier 级 2nnn=1数是 ao + 艺(a cosnx + b sinnx). 2)要求-兀,兀上 f (x)的 Fourier 级数，只2nnn=1须求出 Fourier 系数.例1设f (x)是以2兀为周期的函数，其在兀,兀上可表示为I 1,0 x 兀f(X)To,兀 x 0求 f ( x ) 的 Fourier 展开式 .3)计算f (x)的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为2兀的去件来积.a = J2兀 f (x)dx， a = J2K f (x)cos nxdx, n = 1,2,0 兀 on 兀ob =丄 J2兀 f (x)si
5、n nxdx, n = 1,2,n 兀o例2设f (x)是以2兀为周期的函数，其在0, 2上等于x ,求f (x)的Fourier 级数.4)如果f (x)仅定义在长为22的区间上，例如定义在0,22 )上，此时f (x) 不是周期函数，从而不能按上述方法展开为Fourier级数但可对f (x)在0,22) 外补充定义， 使其以 22 为周期， 如定义f (x) = f (x - 2nn ),x e (2n2,2( n +1)2)它有下述性质：a) x e 0,22 )时，f (x) = f (x) ； b) f (x)以22为周期.例 3f (x) = ex,(-2 x 2)，求f (x)的
6、 Fourier 级数.内积和正交：由R3中的内积与正交概念引入.设函数f和g在区间a,b上(R)可积定义内积为 = Jbf (x)g(x)dx a当 = 0时，称函数f (x)和g(x)在区间a,b 上正交函数的正交性与区间有关例如函数f (x) = -x和g(x) = x2在区间0,1 上并不正交(因为 =-)，但在区间-1,1却是正交的4正交函数系统 ： 标准正交系 ( 幺正系 ) ， 完全系二、以22为周期函数的Fourier级数定理15.2若在整个数轴上a的0 + 乙 a cos nx + b sm nx,2nnn=1且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式a =丄卜 f (x)co
7、s nxdx，n 2 -2b =丄卜 f (x)sin nxdx ,n 2 -2三、收敛定理：一) 按段光滑函数：定义：若f (x)的导函数f(x)在区间a, b 上连续，则称函数f (x)在区间 a,b 上光滑.若函数f (x)在区间a,b 上至多有有限个第一类间断点，且 f(x)仅在区间a, b 上有限个点处不连续且为第一类间断点，则称f (x)是区 间a, b 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质：设函数f (x)在区间a,b 上按段光滑，则f (x)在区间a, b 上可积；对V x e a, b , f (x 土 0)都存在，且有lim f (x +1) f (x + )= f，( x
8、 + 0),t t0+tlim f (x_)_ f (x_0) = f(x-0).(用 Lagrange中值定理证明)t t0+ tf(x)在区间a, b 上可积(二)收敛定理:定理15.3设函数f (x)是以2“为周期的周期函数且在区间-兀,兀上按 段光滑，则在V x e 兀,兀,f (x)的Fourier级数+另a cosnx + b sinnx收敛于f (x)在点x的左、右极限的算术平均值，即 2nnn =1f (x + 0) + f (x 0) a y = + 厶 a cos nx + b sm nx22nnn =1其中a和b为函数f (x)的Fourier系数.(证明放到以后进行)n
9、n推论若f (x)是以2“为周期的连续函数，在-兀,兀上按段光滑，且则f (x)的Fourier级数在(g, + s)内收敛于f (x) 四、正弦级数和余弦级数(一) 定义形如yb sinnx的三角级数(函数项级数)称为正弦级数；形如nn=1a0 +艺a cosnx的三角级数(函数项级数称为余弦级数.2nn=1(二) 如果f (x)是以2兀为周期的函数，在-兀,兀上绝对可积，若f (x)是奇函数, 则有f (X)另b sinnx ；若f (x)是偶函数，则有f (x)你+另a cosnx .n 2 nn =1n =1(三) 设f (x)仅在0 上有定义，如果按奇函数的要求，补充定义 f (x)
10、 = -f (-x),x G -兀,0),然后再作2兀周期延拓,必得奇函数，所得Fourier级 数必为正弦级数.对应地，补充定义f (x) = f (-x),x G -兀,0)后，再作2兀周期延 拓,必得偶函数，所得Fourier级数必为余弦级数.例4 f (x) = |1,0 - x h(0 h 兀)，将f (x)展开成余弦函数.0, h x 兀五、一般周期函数的 Fourier 级数设f (x)是周期为T的函数，且在0,T上绝对可积，则有f (x) 亠 + 艺(a cos彳 x + b sin 2兀 x)，其中 a = J Tf (x)dx ,2n T n T0 T 0n=1a = JT
11、f (x)cos -xdx,n = 1,2,b = JTf (x)sin -xdx,n = 1,2,n T 0Tn T 0T例 5:求f (x) = |x|,-1 x 1 的 Fourier 展开式. 六、Fourier级数的复数表示形式设f (x)人+艺(a cos nx + b sin nx),则其复数表示形式为2nnn=1f (x)送 C einx ,n-8其中，复的 Fourier 系数 C =幺 n =J2兀f (x)e-inxdx = C .n22k 0-n作业 教材 P70：1，2，3，4，5，6，7，8.2以21为周期的函数的展开式教学目的掌握以21为周期的函数的展开式，偶函数
12、和奇函数的傅里叶级数的展 开，正弦级数，余弦级数教学要求(1) 掌握以 2l 为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法(2) 掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法教学建议 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤教学程序一、以21为周期的函数的Fourier级数ltx = 设函数f(x)以21为周期，在区间-1,1 上(R )可积.作代换 兀,则函数F(t)= f (匚)以2为周期.由x =齐是线性函数，F在区间-兀，兀 上(R )可积.函数F(t)的Fourier系数为n = 0,1,2,n = 1,2,=丄卜 F (t)
13、cos ntdt兀兀=卜 F (t)sin ntdt兀兀a y.o + a cos nt + b sin nt.F(t)2nnn=1lt x还原为自变量x ,注意到F=f(齐)=f (x), t = 丁，就有n兀x . n兀xf (x)二 F (t)n=1cos + b sin=2x:=jl f (x) cos dxl lln = 0,1,2，l n i1a =一1兀 F (t)cos ntdt其中 n b = -11 f (x) sin dx bn = 1 -11 ，当函数f（x）在区间-1，门上按段光滑时，f（x）可展开为Fourier级数.兀x.兀xn兀x . n兀x、1, cos ,
14、sin , ,cos, sin, ，註明三角函数系1111 是区间一1，1 上的正交函数系统 .f (x) = 0， -5 x 0，例1把函数 13,0- x5展开成Fourier级数.二、偶函数和奇函数的Fourier级数（一）区间-1，1 上偶函数和奇函数的Fourier级数设f是以21为周期的偶函数，或是定义在-1，1 上的偶函数，则a =1 Jf (x )cos 空 dxn 11-1=J f (x )cosdx, n = 0,1,2.,1 10b =J f (x )sindx = 0, n = 1,2,.(6)n1-1于是f(x)厂 an=1n兀x cos 17）(8)9）其中a如（6）所示，（7）的右边为余弦级数。同理，若f是以21为周期的奇函数，或是定义在，1 上的奇函数，则a = - J f (x)cosd
