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1、离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1. 定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为X1X2XiPPlP2Pi则称EX1P1 X2P2XnPn为 的均值或数学期望，简称期望.要点诠释：(1) 均值(期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.(2) 一般地，在有限取值离散型随机变
2、量的概率分布中，令p1 p2 Pn ,则有PiP21 1Pn, E(X1 X2 Xn)，所以 的数学期望又称为平均数、均值。nn(3) 随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.2. 性质： E( ) E E ; 若a b(a、b是常数)， 是随机变量，则 也是随机变量，有 E(a b) aE b ；E(a b) aEb的推导过程如下：的分布列为X1X2Xiax1 bax2 bax bPRP2Rpi )=aE b于是 E (ax b) P1 (ax2 b)p2 (axi b)pi=a(X1P1X2P2 XP )b(p1P2 E(a b) aE b。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1. 一
3、组数据的方差的概念：已知一组数据洛，X2，Xn ,它们的平均值为 X，那么各数据与 X的差的平方的平均数2 1 2 2 2S- (Xi x) + (X2 X ) + (Xn x)叫做这组数据的方差。n2. 离散型随机变量的方差：般地，若离散型随机变量的概率分布为XiX2XiPPiP2Pi2 2 2则称D = (Xi E ) Pi + (X2 E ) P2 + (Xn E ) Pi +称为随机变量的方差，式中的E是随机变量 的期望.D的算术平方根D叫做随机变量 的标准差，记作要点诠释：随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量 的方差、标准差也是随机变量E的特征数，它们都反
4、映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差(标准差)越小，随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3. 期望和方差的关系：2 2D E( ) (E )4. 方差的性质：若 a b (a、b是常数)，是随机变量，则 也是随机变量，D D(a b) a2D ；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为p的二点分布，则期望E p方差 D P(i P). E 0 q 1 p pD (0 p)2 q (1 p)2 p p(1 p).2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为n, p的二项分布，即B(n, P),
5、则期望E nP方差 D np(1- p)期望公式证明：./I /kk nk /k k nk-P(k)CnP (1 p) Cn p q,n n 0 n CnP q ,OOn11n122n2kknk E 0 Cn p q 1 6pq 2 C.pq . k Cn p q又.叱k土卫nC：；,k!( n k)! (k 1)!(n1) (k 1)!00 n 111 n 2k 1 k 1 (n 1) (k 1)n 1 n 10X- Enp(Cn1pq+ Cn1pq + Cn 1 p q+ Cn 1 p q )np(p q)n 1 np .3、几何分布：独立重复试验中， 若事件A在每一次试验中发生的概率都为
6、p ,事件A第一次发生时所做的试验次数服从几何分布，记是随机变量，且P( k) (1 p)k 1p , k 0,123, L ,n丄，称离散型随机变量作： P( k) g(k, P)。若离散型随机变量服从几何分布，且 P( k) g(k, P),则期望E1p方差D1- p2 p要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为N , M , n的超几何分布，则nM期望E()N要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤:理解 的意义，写出可能取的全部值;求 取各个值的概率
7、，写出分布列;XixXiPPiP2Pi根据分布列，由期望、方差的定义求出E 、D、E为 PiX2P2LXnPnLD2xiEp1x2 E2|P2LxnE 2PnLE.注意:常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可.2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波 动越大。 对于两个随机变量 1和2，当需要了解他们的平均水平时，可比较 E 1和E 2的大小。 E i和E 2相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较D i
8、和D 2,方差值大时，则表明E比较离散，反之，则表明E比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数(数学期望、方差)有关.【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望 例1 某射手射击所得环数 E的分布列如下:E78910Px0.10.3y已知E的期望EE= 8.9，贝U y的值为【思路点拨】分布列中含有字母x、y,应先根据分布列的性质，求出x、y的值，再利用期望的定义求解;【解析】x+ 0.1 + 0.3 + y= 1,即卩 x+ y = 0.6.又 7x+ 0.8 + 2.7 + 10y = 8.9，化简得 7x + 10y = 54 由联立解得 x =
9、 0.2 , y= 04【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解,举一反三：【变式1】某一离散型随机变量E的概率分布如下，且E (E) =1.5，则a b为( ).E0123P0.1ab0.1A . 0.1 B . 0 C . 0.1 D . 0.2【答案】B由分布列的性质知：0.1+a+b+0.仁1 , a+b=0.8 .又 E (E)=0X 0.1+1 x a+2 x b+3X 0.1=1.5，即 a+2b=1.2 .解得 a=0.4 , b=0.4 , a b=0.【变式2】随机变量E的分布列为E024P0.40.30.3，贝U E(5 E
10、 + 4)等于()A. 13B. 11 C . 2.2D. 2.3【答案】A由已知得：E( E ) = 0X 0.4 + 2X 0.3 + 4X 0.3 =1.8 , - E(5 E+ 4) = 5E( E ) + 4 = 5X 1.8 + 4 = 13.1.6【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束 5元；节后卖不出去的鲜花以每束元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜 花500束，则期望利润是E200300400500P0.200.350.300.15A.706 元B. 690 元C. 754 元D. 720 元【答案】
11、A节日期间预售的量：EE= 200X 0.2 + 300X 0.35 + 400X 0.3 + 500X 0.15 =40 + 105+ 120 + 75= 340(束),则期望的利润：n= 5E+ 1.6(500 E ) 500X 2.5 = 3.4 E 450, En= 3.4E E 450= 3.4 X 340 450 = 706.期望利润为706元.【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1,2,3, 4,且P( k) ak b( k 1,2,3,4 ) , E贝 H a b 【答案】0.1 ；由分布列的概率和为1,有(a b) (2a b) (3a b) (4a b) 1,又 E3，即
12、 1 (a b) 2 (2a b) 3 (3a b) 4 (4a b) 3,解得 a 0.1, b 0，故 a b 0.1。例2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得一100分假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1 )求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和数学期望；(2)求这名同学总得分不为负分(即X 0)的概率.【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。(1)求X的可能取值，即求得分，答对0道题得300分，答对1道题得100- 200= 100分，答对2道
13、题得2X 100 100=100分，答对3道题得300分；(2)总分不为负分包括 100分和300分两种情况.【解析】(1) X 的可能取值为300, 100, 100, 300.3P(X= 300) =0.2 =0.008。P(X= 100) =C3 X 0.2冬 0.8=0.096 ,2 2P(X=100) =C3 X 0.2 X 0.8 =0.384 ,3P(X=300) =0.8 =0.512 .所以X的概率分布为X300100100300P0.0080.0960.3840.512 E ( X) =( 300) X 0.008+( 100) X 0.096+100 X 0.384+300 X 0.512=180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X 0) =P (X=100) +P (X=300) =0.384+0.512=0.896 .【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表.举一反三：【变式1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7 ,求他罚球一次得分的期望一【答案】因为P( 1)0.7, P( 0)0.3,所以 E 1 0.70 0.30.7.【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不 再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已
