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1、目录摘要1关键词1Abstract1Key words 1引言11. 1无穷积分，f(x)dx收敛时，jvt+s时，f(x)不趋于零的情形。21. 2无穷积分f(x)d.x收敛时，xT+s时，趋于零的情形21.2.1函数一致连续时，对jvt+s时，f(x)趋于零的探讨21.2.2函数为单调函数时，对jvt+s时，f(x)趋于零的探讨51.2.3函数的导数的反常积分收敛时，对xt+s时，f(x)趋于零的探讨51.2.4极限存在时的情形71.2.5函数导数有界时，对xt+s时，f(x)趋于零的探讨81.3当xt+s, f(x)趋于零与无穷积分收敛的关系91.3.1当xt+s, f(x)趋于零时与7
2、工)火敛散性的关系91.3.2当xt+s, f(x)趋于零时与7心的敛散性与广么敛散性的关系91. 4推广形式10总结10致谢11参考文献11无穷积分的收敛与被积函数极限为零的条件探讨数学与应用数学李昆指导老师王顶国摘要：目的:讨论无穷积分的被积函数f(x)当Xf+8时的极限情况.方法:利用函数/(X)在。，+8)上一致连续的一些性质和结论和一些新颖的实例.结果:给出了无穷积分(成灰的被枳函数极限lilll f(X)=O的一些条件及其证明.结论:若无穷积分收敛 时被积函数极限为零，必须附加一定的条件才能成立.关键词：无穷积分收敛被积函数一致收敛极限Discussion on the Limit
3、 Becoming Zero of Integrand When theInfinite Integral convergesStudent majoiing m Mathematics and Applied Mathematics Li KunTutor Wang DmgguoAbstract： Objective:To discuss the limit case of integrand f(x) of infinite mtegral from n=a to (+)f (x) DX when x Metliod : use the consistent continuous natu
4、re and conclusions and some novel instances of fiinction Rx) on a, + 00).Results： Given some conditions and its proof when tlie limit of integrand Rx) of infinite integral fiom n=a to (+ ) f (x) DX is zero when x f Conclusion: the limit of integrand Rx) is zero when infinite integral from n=a to (+
5、) f (x) DX is convergent when x f +8 must be attached to ceitain conditions.Key words: infinite integial； convergence: mtegraiid： umfbrinly contmuous ； limit.引言定积分火的积分区间是有界区间a.b,但是许多实际问题和理论问题 涉及到无限积分区间，因此，对无穷限反常积分的研究是具有实际意义的.在无穷限反常 积分中，我们主要研究其敛散性的判别以及在收敛时所具有的性质。对于收敛时，其被积 函数在无穷远处的极限是我们主要讨论的问题.即讨论的收敛性
6、与被积函数 f(x)在无穷远处极限的关系.我们知道，无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结 论是相似的.在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通项是收敛于零的.那么在无穷限 反常积分里是不是也有相似的结论呢?首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的儿何意 义：公收敛时的儿何意义:若f(x)是。，+8)上的非负连续函数，则 f(x)dx是介于曲线 = /(”，直线x = 以及X轴之间那一块向右无限延伸的阴影区 域的面积J.从而可知：实际上是表示曲线)，= f(x)与坐标轴所围成的面积 的代数和.而当3)心收敛时，是否/(X)在无穷远处的极限一定为零，如果回答否 定，那么在哪些情况下，被积函数的极限是
7、趋于零的，以及他们的关系乂是什么样的.1. 1无穷积分收敛时，XT+S时，f(x)不趋于零的情形 若无穷积分f(x)dx收敛，则有当XT+S时/(X)tO是否成立？反之，是 否成立都是不一定的.例如，由狄利克雷判别法知r sm/dx收敛，但Inn smx2不存 jv-+x在. 若f公收敛，且/(工任，则当XT+S时r(x)不一定趋于o例如：= 当X属于整数时；f(x)= 1当工不属于整数时.1 + T /(x)=l-2rt | x-n | 当xe n-,n+-； /(x) =0 当为其它数时;22所以r/()=S-41 = 1收敛，3)20,并且连续，但当XT+8时，地)不趋于 0n=l 2
8、2零. 若将中f(x) 0改为f(x)大于0,当X趋于正无穷时f(x)仍可能不趋于 零，例如：令f (x)=二，g(x)其中g(x)为中的函数.A1.2无穷积分Xf(x)dx收敛时，XT+S时，f(x)趋于零的情形1.2.1函数一致连续时，对xt+s时，f趋于零的探讨定义L若定义在区间A (注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是 无穷区间)上的连续函数/(%),如果对于任意给定的正数0,存在一个只与有关与x无关的实数匚0,使得对任意A上的X, 土只要X, 满足lx】-丛1+x则函数/(x)在。,48)上一致连续.证明 己知 Inn f(x) = b,即 Ve0, 3M a , /如心 c
9、有X-yW一|/(为)-/(心)| V 矿己知/在S，M + 1上连续，根据一致连续性定理，则/在o,M+l 一致连续，即X/e 0,35 0(0 5 1),7,易+ l):g 一 邑| vS,有|朋)-/(沔)| V .于是Vx1,x2 e o,+s)且|明一对 8,都有故函数/(x)在金,心)上一致连续.引理2 :若函数f(x)在区间/满足李普希茨条件，即Vx,)沱/ ,有 f(x) - f(y) 0, g /,解不等式取5 =申沽0),于是 0,取5=,贝ijWKK1故函数/(x)在/上一致连续.引理3：若函数/在(务俱)上可导，且V.G (n,-H)W|/ (x)|其中M为常数,则/(
10、x)在(务俱)上一致连续.证明 因为(。,衍)在/ 上可导，对fxl,x2 e (fl,-KXJ),则f(x)在认,引上连续，在(邑小)内可导，所以虫上四2 = /,兴(心)，从而|/(1)-f(x2 )| = f )|x2 一 X0,m50 (不妨设8京),对Vx,x g ,-ko),当 x - x 8 时，有/U)-/U)|0,当时有J： f (。出牛，2对 Vx M 3xx .使 V xx M 且 x -x = 8,于是有r f（x）dt -,Jx2从而|/W| = JJ f）dt= /出 一 /（，）出+ f ）dt 999匚 |/（X）-/（帅 + 82b + ,22即 |/（x）|
11、 0时有仇x）| l,有| sinxd=|cosxl -cosp| 0）.于是广竺火也收敛.Jo Xsinx 八ifij Imi= 0A* x所以由引理1知/（X）在（0,心）上一致连续.推论1：若f（x）dx收敛”在。,心）上满足李普希茨条件，则 Inn jx） = 0 .证明 因为/（）“,心）在上满足利普希茨条件，由引理2知/（X）在低心）上一致连续.又f(x)d.x收敛，所以由定理1知Inn f=0.KC 定理1不仅告诉我们收敛的广义积分的极限(XT心)为零的充要条件，而且用它 我们可以判定某些函数在无穷区间上不一致连续.如sin亍火收敛，但 Inn snix2。0,则sinx在伍,心
12、)上不一致连续.若直接证明sinx在o,*o)上不一致连 续是很困难的。1.2.2函数为单调函数时，对xT+s时，f(x)趋于零的探讨A-00定理2：若f(x)为单调减函数，且/(xgv收敛，则lmi/(x) = 0o证明若存在。使f(“)v。，贝以。时恒有f(x)f(a)0,存在Aaf当A A2 A时，有 /(x)eZY 2A时，由积分中值定理得0,矿(x)2f/(/)出-wc Jol *所以厂办收敛，由定理2得hm广=0.tT+R推论二：若/(X)心收敛，且存在A2O,当时f(x)非正单调递增，则lun /(x) = 0.A-+X证明方法同上.1.2.3函数的导数的反常积分收敛时，对xt+s时，f趋于零的探讨引理4：反常积分f(xylx收敛的柯西准则反常积分f+X/(x/A-收敛的充要条件为对 W存在Aa,使得对任意的4，aa时，有叶/水1“，使得对任意x1?x2A时有I J：户(职工I =|/U1)-/U2)| o,当n, mN时有 儿叫A,所以 II
