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1、平抛运动常见题型及应用专题（一）平抛运动的基础知识1. 定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。2. 特点：（1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。（2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为。（3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度恒定，所以竖直方向上在相等的时间内相邻的位移的高度之比为竖直方向上在相等的时间内相邻的位移之差是一个恒量。（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是）是不相同的，其关系式（即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。 3. 平抛运动的规律
2、描绘平抛运动的物理量有、，已知这八个物理量中的任意两个，可以求出其它六个。运动分类加速度速度位移轨迹分运动方向0直线方向直线合运动大小抛物线与方向的夹角（二）平抛运动的常见问题及求解思路关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度 求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水
3、平方向做匀速直线运动，求出速度。例1 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过的壕沟，沟面对面比A处低，摩托车的速度至少要有多大？图1解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为 2. 从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。例2 如图2甲所示，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是（ ）A. B. C. D. 图2解析：先将物体的末速度分解为水平分速度和竖直分速度（如图2乙所示）。
4、根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以；又因为与斜面垂直、与水平面垂直，所以与间的夹角等于斜面的倾角。再根据平抛运动的分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据就可以求出时间了。则所以根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出所以所以答案为C。 3. 从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”）例3 在倾角为的斜面上的P点，以水平速度
5、向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q点，证明落在Q点物体速度。解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是，所用时间为，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为；水平方向上的位移为。又根据运动学的规律可得竖直方向上，水平方向上则，所以Q点的速度例4 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为和，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为多少？图3解析：和都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到所以有同理则 4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解在研究平抛运动的
6、实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。例5 某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知，求。图4解析：A与B、B与C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设A到B、B到C的时间为T，则又竖直方向是自由落体运动， 则代入已知量，联立可得 5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题例6 从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为，在A点正上方高为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为。两物体轨迹在同一竖直平面内且都
7、恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。图5解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很容易，如图5所示，物体从A、B两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在轴上的抛物线，即可设A、B两方程分别为，则把顶点坐标A（0，H）、B（0，2H）、E（2，0）、F（，0）分别代入可得方程组这个方程组的解的纵坐标，即为屏的高。 6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题例7 如图6所示，在倾角为的斜面上以速度水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？图6解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直
8、斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。取沿斜面向下为轴的正方向，垂直斜面向上为轴的正方向，如图6所示，在轴上，小球做初速度为、加速度为的匀变速直线运动，所以有 当时，小球在轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。由式可得小球离开斜面的最大距离当时，小球在轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由式可得小球运动的时间为 7. 利用平抛运动的推论求解推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。 例8 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为和，初速度方向相反，求经过多
9、长时间两小球速度之间的夹角为？图7解析：设两小球抛出后经过时间，它们速度之间的夹角为，与竖直方向的夹角分别为和，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7所示，由图可得和 又因为，所以由以上各式可得，解得推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形例9 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为，竖直位移为，如图8所示，构建位移矢量
10、直角三角形有若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形，如图9所示有，由以上两式得令星球上重力加速度为，由平抛运动的规律得由万有引力定律与牛顿第二定律得由以上各式解得推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。证明：设平抛运动的初速度为，经时间后的水平位移为，如图10所示，D为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有水平方向位移竖直方向和由图可知，与相似，则联立以上各式可得该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。图10例10 如图11所示，与水平面的夹角为的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度从三角形木块的顶点上水平抛出，
11、求在运动过程中该质点距斜面的最远距离。图11解析：当质点做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，质点距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成角。如图12所示，图中A为末速度的反向延长线与水平位移的交点，AB即为所求的最远距离。根据平抛运动规律有，和由上述推论3知据图9中几何关系得由以上各式解得即质点距斜面的最远距离为图12推论4：平抛运动的物体经时间后，其速度与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为，则有证明：如图13，设平抛运动的初速度为，经时间后到达A点的水平位移为、速度为，如图所示，根据平抛运动规律和几何关系：在速度三角形中在位移三角形中由上面两式可得图13例11 一质量为的小物体
12、从倾角为的斜面顶点A水平抛出，落在斜面上B点，若物体到达B点时的动能为35J，试求小物体抛出时的初动能为多大？（不计运动过程中的空气阻力）图14解析：由题意作出图14，根据推论4可得，所以由三角知识可得又因为所以初动能例12 如图15所示，从倾角为斜面足够长的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，试比较和的大小。图15解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得所以此式表明仅与有关，而与初速度无关，因此，即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度方向是互相
13、平行的。推论5：平抛运动的物体经时间后，位移与水平方向的夹角为，则此时的动能与初动能的关系为证明：设质量为的小球以的水平初速度从A点抛出，经时间到达B点，其速度与水平方向的夹角为，根据平抛运动规律可作出位移和速度的合成图，如图16所示。图16由上面推论4可知从图16中看出小球到达B点的速度为所以B点的动能为例13 如图17所示，从倾角为的斜面顶端平抛一个物体，阻力不计，物体的初动能为9J。当物体与斜面距离最远时，重力势能减少了多少焦耳？图17解析：当物体做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，物体距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成角，如图17所示由可得所以当物体距斜面的距离最远时的动
14、能为根据物体在做平抛运动时机械能守恒有即重力势能减少了3J平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷。若能切实掌握其基本处理方法和这些有用的推论，就不难解决平抛问题。因此在复习时应注意对平抛运动规律的总结，从而提高自己解题的能力。【模拟试题】1. 关于曲线运动，下列叙述正确的是（ ）A. 物体之所以做曲线运动，是由于物体受到垂直于速度方向的力（或者分力）的作用B. 物体只有受到一个方向不断改变的力，才可能做曲线运动C. 物体受到不平行于初速度方向的外力作用时，物体做曲线运动D. 平抛运动是一种匀变速曲线运动2. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）A. 合速度的大小一
15、定比每个分速度的大小都大B. 合运动的时间等于两个分运动经历的时间C. 两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动D. 只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动3. 游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是（ ）A. 路程增加、时间增加B. 路程增加、时间缩短C. 路程增加、时间不变D. 路程、时间均与水速无关4. 从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球，它们初速度分别为、。在小球落地前的某个时刻，小球在空中的位置关系是（ ）A. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面平行B. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面垂直C. 五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面既不平行，也不垂直D. 五个小球的连线为一条曲线5.
