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1、数学建模在机械设计与制造方面的应用摘要：数学建模的思想就是用数学的思路、方法去解决实际生产、生活当中所遇到的问题。古今中外几乎一切应用科学的基础都是数学建模，凡是要用数学解决的实际问题也都是通过数学建模的过程来实现的。尤其到了20世纪中叶计算机和其他技术突飞猛进的发展，给数学建模以极大的推动，通过数学建模也极大地扩大了数学的应用范围。人们越来越认识到数学建模的重要性。曾经有位外国学者说过：“一切科学和工程技术人员的教育必须包括数学和计算数学的更多内容。数学建模以机械专业知识为背景，用“数学建模”的思想方法去分析解决案例中提出的问题，在数学知识与机械专业知识间架起沟通的桥梁。关键词：空间解析几何
2、；机械制图；线图的程序化本文以机械专业知识为背景，用“数学建模”的思想方法，去分析和解决机械制图学习中的问题，在数学知识与机械专业知识问架起沟通的桥梁一 点的空间坐标与点的三面投影11 空间直角坐标系21中点的投影空间的点A与有序数组(z，Y，z)存在一一对应的关系，即点A的坐标为A(x，y，z)。点A到坐标面的距离：在第一卦限中，点A到H面的投影为水平投影，用点a表示，则A到a的距离即为Aa=z。点A到V面的投影为正面投影，用点a表示，则A到a 的距离即为Aa=Y。点A到w面的投影为侧面投影，用点a”表示，则A到a”的距离即为Aa=z(如图1所示)。12 机械制图中点的三面投影(如图2所示)
3、。XYayaxOaAaazaZ Z a a z zY1xO X y a Y图2图1例1 已知空间点A的坐标(20，10，15)，求作点A的三面投影图。图1作图步骤(1)先画出投影轴，再由。点向左沿OX轴量取17=20，得n；点；(2)过a。点作垂直于Ox的投影连线，在投影连线上由a；点向下量取Y一10，得水平投影a点；在投影连线上由口：点向上量取z=15，得正面投影a 7点；(3)由a、a求出侧面投影a”点。过a点作aaz 垂直0z，过点0作45度辅助线，过a点作OY的垂线，与45度辅助线相交于一点，过交点作OYw垂线与投影连线aa；相交，交点即为点A的侧面投影a点例2 A点到OX轴的距离为2
4、0mm，到OZ轴的距离为25mm，并已知该点到H面的距离为12mm，试求点A的三面投影14 空间两点位置比较由已知点确定另一点位置： (1)直接根据点的坐标值确定。(2)根据各点到已知点A的坐标差确定(即两点间的坐标差确定)例3 已知点A的正面投影n 7点和侧面投影口”点，又知B点在A点左方20mm，后方10mm下方5mm，C点在A点正下方10mm，求作A点的水平投影和B，C点的三面投影，并判断点的可见性。解：根据题意知可分空间，分析B：点由与于A点A点坐两标个差投为影：已X。确一定X该=点20的、空Y间a位Y置A，根据点的投影规律可求出它的第三投10、ZB-ZA= 5，以A点为参照，按照它们
5、的坐标差和投影规律即可作出B点的三面投影。C点在A点的正下方，即两点的X，y坐标值相等，两点在H面上的投影重合为一点，即为H面的重影点；Z坐标差：ZCZA=l0，根据坐标差可求出C点的三面投影。(2)作图步骤：首先，由A点的两投影以7点、口”点求出第三投影口点；其次，在投影连线fa左方20mm处作OX轴的垂线，与在投影连线fa上由a点向下量取5mm所作水平线的交点为B的正面投影b点，与由水平投影口点向上量取10mm所作水平线的交点为B点的水平投影b点，即求得B点的两面投影；第三，由B点的两投影b点、b点求出第三投影b”点；第四，同样方法求出C点的三面投影；第五，判断可见性；A，C两点为相对于H
6、面的重影点，C点在A点的下方，所以水平投影c点被n点遮住，不可见二 空间直线与直线的三面投影21 直线在三投影面体系中投影特性妇根据几何定理，两点可以确定一条直线，所以空间一直线的投影可由直线上两点的同面投影来确定(通常取直线段的两个端点)。直线AB与三个投影面都不垂直，分别作出A、B两端点的投影，然后将其同名投影连接起来即得直线的三面投影(ab，ab，CAb”)。22 线段实长及对三投影面的夹角由于投影面倾斜线AB与三个投影面都不平行，所以其三面投影都不反映直线的实长。利用直角三角形法求一般位置直线段的实长及对投影面的倾角。AB为一般位置直线，在ABba平面内过A作ACab，交励于C，其中直
7、角边AC-ab即AB的水平投影；BC=Bb-Aa-ZB即B、A两点的Z坐标之差；斜边AB即为实长，么BAC即为AB对H面的倾角a在水平投影上作：过a或b作a6的垂线bB。，使bB。=Z。z，连接aB。即为直线AB的实长，么B。(f6即为AB对H面的倾角口。同理，可利用线段的正面投影ab 7及A，B两点的y坐标差作出直角三角形a 76 7B，则斜边6B。就是AB的实长，么B。ab7即为AB对V面的倾角口。可利用线段的侧面投影n，6”及A，B两点的X坐标差作出直角三角形“，6，B。，则斜边bB。就是AB的实长，么B。6”即为AB对w面的倾角)，三 点到直线的距离31 直角投影定理空间垂直相交的两直
8、线，若其中一条直线是某投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影仍为直角何为数学建模？ 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要
9、描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，进入20世纪以来，随着科学技术的迅速
10、发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理伦与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养同学应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观
11、察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教
12、学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和同学要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以同学为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。通过教学使同学了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的
13、能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。数学建模以同学为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导同学主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励同学 积极开展讨论和辩论，培养同学主动探索，努力进取的学风，培养同学从事科研工作的初步能力，培养同学团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导同学的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数举素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的
14、过程，而不是知识与结果。接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包的使用等等“短课程”（或讲座），用的学时不多，多数是启发性的讲一些基本的概念和方法，主要是靠同学们自己去学，充分调动同学们的积极性，充分发挥同学们的潜能。培训中广泛地采用的讨论班方式，同学自己报告、讨论、辩论，教师主要起质疑、答疑、辅导的作用，竞赛中一定要使用计算机及相应的软件，如Mathemathmatica,Matlab,Mapple，甚至排版软件等。二、数学建模的的作用 1、培养同学的数学能力 数学建模的研究对象是一些实际问题，要把这些实际问题用数学语言表述出来并转化成抽象的数学问题并非易事。这就要求人们在建模过程中经过分析与综合、抽象与概括、比较与类比、系统化与具体化等阶段，这些阶段中能培养同学们的分析综合能力、抽象概括能力、想象洞察能力、运用数学工具的能力、通过实践验证数学模型的能力。 2、激发同学学习数学的兴趣 数学建模改变了以教师为中心，只注重数学概念、定理的推理和证明，而忽视了数学知识的应用性的传统的数学教学模式，打造以同学为中心的全新的数学教学模式，培养同学的创造性，激发同学学习数学的兴
