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1、第五章 两自由度系统振动5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础 。在实际工程问题 中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有 必要进一步研究多自由度系统的振动理论。两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自 由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统 是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动 过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可5-2 两自由度系统的自由振动、系统的运动微分方程以图 3.2 的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为 k1 和k，质量为m、m
2、。质量的位移分别用x和x来表示，并以静平衡位 2 1 2 1 2置为坐标原点，以向下为正方向。图3.2双弹簧一质量系统(分析)在振动过程中的任一瞬间t,m和m的位移分别为x及x。1 2 1 2此时，在质量m上作用有弹性恢复力kx及k (x - x )，在质量m上作1 1 1 2 2 1 2用有弹性恢复力k (x -x )。这些力的作用方向如图所示。2 2 1应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：m x + kx - k (x - x )= 011 1 1 2 2 1 m x + k (x -x 丿=0(3.1)2 2 2 2 1k + k了kka = i 2, b = a , c =
3、 令mmm1 1 2则(3.1)式可改写成如下形式：m x + k x 一 k-x )= 01 1 1 1m x + k x2 2 2 22 2 1x / 01x + ax 一 bx 0112 3.2)x 一 cx + cx 02 1 2这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。(分析)在第一个方程中包含一bx2项，第二个方程中则包含一 CX1项，称为“耦合项” (coupling term)。这表明，质量m除受11到弹簧k的恢复力的作用外，还受到弹簧k的恢复力的作用。m122 虽然只受一个弹簧 k 恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点2m 位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹
4、性耦合。 若加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。二、固有频率和主振型创造思维：从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自 由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中 找到简谐振动的解。因此可先假设方程组(3.2)式有简谐振动解， 然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故 可设方程组(3.2)式的特解为：x1x23.3)=A sin Co t + 申) =A sin Co t + 申) 2n)|)| (3.4)其中振幅A1与A?、频率 n、初相位角申都有待于确定。对(3.3) 式分别取一阶及二阶导数：x = Ao co
5、sCo t + Q)x =-Ao2sin(o t + Qx = A o cosOo t +x = -A o2 sinOo t + Q2 2 nn22 n n1 1 n n11 n n将(3.3)、(3.4)式代入(3.2)式，并加以整理后得(3.5)C-o2L 一bA = 0 n C 1)2- cA + c - o 2 A = 01 n 2上式是A、A的线性齐次代数方程组。A、A =0显然不是我们所1 2 1 2要的振动解，要使A、A有非零解，则（3. 5）式的系数行列式必须12等于零，即：a o 2 bnCC o 2 = 0n将上式展开得：3.6)o 4 Ca + C)o 2 + CCa b
6、)= 0 nn解上列方程，可得如下的两个根：W 2n1,2a + e _ +-c Ca - b )由此可见，a + e _ + be3.7)3.6）式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程( frequency equation )或特征方程( characteristic equation）。特征方程的特征值（characteristic value）即频率W 只与参数 a，b，c 有关。而这些参数又只决定于系统的质量 m ，m12和刚度k , k，即频率W n只决定于系统本身的物理性质，故称W n1 2 n为系统的固有频率。两自由度系统的固有频率有两个， 即Wni和Wn2，且Wni 0
7、，由（3.8） 式知，卩1 0a 一 e1a + e( a - e 2a 一 w 2 a 一+ ben22 】卜2丿又因为因为上式的等式右边恒小于零，所以a _w n2 0表示AG和Ay的符号相同，即第一主振动中两个质点的相位相同。因此，若系统按第一主振型进行振动的 话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时达到最大偏离位置。而0 2 (3.12)将（3.12）式代入（3.11）就得到系统在上述初始下响应。四、振动特性的讨论1运动规律从（3.11）式可以看出,两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从（3.7）式来看，这两个分振动的频率Dn1与Dn2 的比值却不一
8、定是有理数,因此合成不一定呈周期性。所以系统的自 由振动一般来说是一种非周期的复杂运动。在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条件下，系统才按一种主振型进行振动。2频率和振型两自由度系统有两个不同数值的固有频率，称为主频率，当系统 按任一个固有频率作自由振动时，即称为主振动。系统作主振动时， 任何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即整个系统具有确定的振 动形态，称为主振型。3节点和节面在两自由度系统的第二阶主振型中存在着节点，而在第一阶主振 型中却不存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶 数越高，则节点数也就越多。-般来说，第i阶主振型有i-1个节点。
