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1、概率论与数理统计第一章随机事件及其概率1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：1.2 概率古典概型公式：P（A）=实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？所含样本点数：所含样本点数：补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设Ai ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？所含样本点数：A1所含样本点数：A2所含样本点数： A3所含样本
2、点数：注：由概率定义得出的几个性质：1、0P（A）12、P()=1，P() =01.3 概率的加法法则定理：设A、B是互不相容事件（AB=），则：P（AB）=P（A）+P（B）推论1：设A1、 A2、 An 互不相容，则P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + P(An)推论2：设A1、 A2、 An 构成完备事件组，则P(A1+A2+.+ An)=1推论3： P（A）=1P（）推论4：若BA，则P(BA)= P(B)P(A)推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)补充对偶律：1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A
3、/B)=（P(B)0）P(B/A)= （P(A)0）P（AB）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）有时须与P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）中的P（AB）联系解题。全概率与逆概率公式：全概率公式：逆概率公式： （注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1.5 独立试验概型事件的独立性：贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式）：课本P24另两个解题中常用的结论1、定理：有四对事件：A与B、A与、与B、与，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独
4、立。2、公式：第二章 随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：确定各种事件，记为x写成一行； 计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质1、（非负性） 2、（可加性和规范性）补例1：将一颗骰子连掷2次，以x 表示两次所得结果之和，试写出x的概率分布。解：所含样本点数：66=36所求分布列为：1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36pk12111098765432x补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出3只球中最大号码，试写出x的概率分布。解：
5、所含样本点数：=106/103/101/10p k543x所求分布列为：2、求分布函数F(x)：分布函数二、关于连续型随机变量的分布问题：xR，如果随机变量x的分布函数F（x）可写成F（x）=，则x为连续型。称概率密度函数。解题中应该知道的几个关系式： 第三章 随机变量数字特征一、求离散型随机变量x 的数学期望Ex =？数学期望（均值）二、设x 为随机变量，f(x)是普通实函数，则=f(x)也是随机变量，求E=?xx1x2xkpkp1p2pk= f(x)y1y2yk以上计算只要求这种离散型的。补例1：设x的概率分布为：x1012pk求：，的概率分布；。解：因为x1012pk=x12101=x2
6、1014所以，所求分布列为：=x12101pk和：=x21014pk当=x1时，E=E（x1）=2+(1)+0+1+=1/4当=x2时，E=E x2=1+0+1+4+=27/8三、求x 或的方差Dx =？ D=？实用公式=其中，=补例2：x202pk0.40.30.3求：E x 和D x 解：=20.4+00.3+20.3=0.22=（2）20.4+020.3+220.3=2.8=2=2.8（0.2）2=2.76第四章 几种重要的分布常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）名称概率分布或密度期望方差参数范围二项分布n pn p q0P0泊松分布不要求0指数分布不要求0解题中经常需要运用的E
7、 x 和D x 的性质（同志们解题必备速查表）E x的性质D x 的性质第五章 参数估计8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择）若总体参数的估计量为，如果对任给的0，有，则称是的一致估计；如果满足，则称是的无偏估计；如果和均是的无偏估计，若，则称是比有效的估计量。8.3 区间估计：几个术语1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量及，对于给定的（01）满足：则称随机区间（，）是的100（1）的置信区间，和称为的100（1）的置信下、上限，百分数100（1）称为置信度。一、求总体期望（均值）E x 的置信区间1、总体方差已知的类型据，得1，反查表（课本P260表）得临界值；=
8、求d= 置信区间（-d，+d）补简例：设总体随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值的95%的置信区间。解：1=0.95，=0.05（U）=1=0.975，反查表得：U=1.96=0.3，n=4 d=0.29所以，总体均值的=0.05的置信区间为：（d，d）=（130.29，130.29）即（12.71，13.29）2、总体方差未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！）据和自由度n1（n为样本容量），查表（课本P262表）得；确定=和求d= 置信区间（-d，+d）注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差的置信区间据和自由度n1（n为样本数）
9、，查表得临界值：和确定=和上限 下限置信区间（下限，上限）典型例题：补例1：课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（0.04）。解：=0.04，又n=10，自由度n1=9查表得，=19.7=2.53=457.5=+=1240.28上限=4412.06下限=566.63所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63，4412.06）第六章 假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：
10、1、提出待检假设H02、选择统计量3、据检验水平，确定临界值4、计算统计量的值5、作出判断检验类型：未知方差，检验总体期望(均值)根据题设条件，提出H0:= (已知)；选择统计量；据和自由度n1（n为样本容量），查表（课本P262表）得；由样本值算出？和？从而得到；作出判断典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2 ）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（=0.05）解：H0:= 549选择统计量=0.05，n
11、1=4，查表得：=2.776又=543s2=57.=1.772.776接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型：未知期望(均值)，检验总体方差根据题设条件，提出H0:= (已知)；选择统计量；据和自由度n1（n为样本容量），查表（课本P264表）得临界值：和；由样本值算出？和？从而得到；若则接受假设，否则拒绝!补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差=64，今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？（=0.0
12、5）解： H0:=64选择统计量=0.05，n1=9，查表得：=2.7=19又=575.2s2=75.73=2.7=19接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。第1章 随机事件及其概率（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件
