高考数学一轮复习学案训练课件北师大版理科: 第7章 立体几何 第7节 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直学案 理 北师大版

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1、高考数学精品复习资料 2019.5第七节立体几何中的向量方法考纲传真(教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用(对应学生用书第122页)基础知识填充1空间位置关系的向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n,平面的法向量为mlnmnm0lnmnm平面,的法向量分别为n,m

2、nmnmnmnm02.异面直线的夹角已知直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2.当0s1,s2时,直线l1与l2的夹角等于s1,s2;当s1,s2时,直线l1与l2的夹角等于s1,s23直线与平面的夹角设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线l与平面的夹角为,则sin |cosa,n|.4二面角(1)如图771(1),AB,CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小,图771(2)如图771(2)(3),n1,n2分别是二面角l的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足|cos |cosn1,n2|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)基本能力自测1(思考

3、辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行()(2)若两平面的法向量平行,则两平面平行或重合()(3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角()(4)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角()(5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(6)两异面直线夹角的范围是,直线与平面夹角的范围是,二面角的范围是0,()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(教材改编)设u(2,2,t),v(6,4,4)分别是平面,的法向量若,则t()A3 B4C5D6C,则uv262(4)4t0,t5.3已知A(1,0,0),

4、B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1)B(1,1,1)CDC设n(x,y,z)为平面ABC的法向量,则化简得xyz.故选C4直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN夹角的余弦值为()A B C DC建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,设BC2,则B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以(1,1,2),(1,0,2),故BM与AN夹角的余弦值cos .5过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若ABPA,则平面ABP与平面CDP所成的

5、二面角为_45如图,建立空间直角坐标系,设ABPA1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由题意,AD平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AEPD,又CD平面PAD,CDAE,从而AE平面PCD.(0,1,0),分别是平面PAB,平面PCD的法向量,且,45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.第1课时利用空间向量证明平行与垂直(对应学生用书第123页)利用空间向量证明平行问题(20xx天津高考节选)如图772,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PAAC4,AB2.图772求证:MN

6、平面BDE.解如图,以A为原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0)证明:(0,2,0),(2,0,2)设n(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则即不妨设z1,可得n(1,0,1)又(1,2,1),可得n0.因为MN平面BDE,所以MN平面BDE.规律方法(1)恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行,只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积

7、为零,或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.跟踪训练如图773所示,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PAAD2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点求证:PB平面EFG.图773证明平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PAAD,AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0

8、,1),F(0,1,1),G(1,2,0)(2,0,2),(0,1,0),(1,1,1),设st,即(2,0,2)s(0,1,0)t(1,1,1),解得st2,22,又与不共线,与共面PB平面EFG,PB平面EFG.利用空间向量证明垂直问题(20xx开封模拟)如图774,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,ADDE2AB.求证:平面BCE平面CDE. 【导学号:79140249】图774证明设ADDE2AB2a,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a)所以(a,a,a),(2a,0,

9、a),(a,a,0),(0,0,2a)设平面BCE的法向量为n1(x1,y1,z1),由n10,n10可得即令z12,可得n1(1,2)设平面CDE的法向量为n2(x2,y2,z2),由n20,n20可得即令y21,可得n2(,1,0)因为n1n211()0.所以n1n2,所以平面BCE平面CDE.若本例中条件不变,点F是CE的中点,证明DF平面BCE.证明由例2知C(2a,0,0),E(a,a,2a),平面BCE的法向量n1(1,2)点F是CE的中点,F,n1,n1,故DF平面BCE.规律方法1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其

10、中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.跟踪训练如图775所示,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD,侧面PBC底面ABCD.图775证明:(1)PABD;(2)平面PAD平面PAB.证明(1)取BC的中点O,连接PO,平面PBC底面ABCD,PBC为等边三角形,PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC

11、所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示不妨设CD1,则ABBC2,PO.A(1,2,0),B(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,)(2,1,0),(1,2,)(2)1(1)(2)0()0,PABD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M.,(1,0,),100()0,即DMPB.10(2)()0,即DMPA又PAPBP,DM平面PAB.DM平面PAD,平面PAD平面PAB.利用空间向量解决探索性问题(20xx北京东城区综合练习(二)如图776,在几何体ABCDEF中,平面ADE平面ABCD,四边形ABCD为菱形,且DAB60,EA

12、EDAB2EF,EFAB,M为BC的中点图776(1)求证:FM平面BDE;(2)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值;(3)在棱CF上是否存在点G,使BGDE?若存在,求的值;若不存在,请说明理由解(1)证明:取CD的中点N,连接MN,FN.因为N,M分别为CD,BC的中点,所以MNBD.又BD平面BDE且MN平面BDE,所以MN平面BDE.因为EFAB,AB2EF,所以EFCD,EFDN.所以四边形EFND为平行四边形,所以FNED.又ED平面BDE且FN平面BDE,所以FN平面BDE.又FNMNN,所以平面MFN平面BDE.又FM平面MFN,所以FM平面BDE.(2)取AD的中点O,连接

13、EO,BO.因为EAED,所以EOAD.因为平面ADE平面ABCD,所以EO平面ABCD,EOBO.因为ADAB,DAB60,所以ADB为等边三角形因为O为AD的中点,所以ADBO.因为EO,BO,AO两两垂直,设AB4,以O为原点,OA,OB,OE为x轴、y轴、z轴,如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意,得A(2,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),F(1,2)(3,2),(2,0,2),(0,2,2)设平面BDE的法向量为n(x,y,z)则即令z1,则y1,x.所以n(,1,1)设直线CF与平面BDE所成角为,sin |cos,n|.所以直线CF与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设G是CF上一点,且,

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