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1、1. 1.2 弧度制课豹自主学习”雄E扌能楼高预习课本P69,思考并完成以下问题(1) 1弧度的角是如何定义的？(2) 如何求角a的弧度数?(3) 如何进行弧度与角度的换算?(4) 以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么?新知初探1. 角的单位制(1) 角度制：1规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.360(2) 弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写.(3) 角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心
2、角 a所对弧的长为I，那么角a的弧度数的绝对值| a| =.点睛用弧度为单位表示角的大小时，弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“ rad ”可省略不写，只写2.2. 角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度360= 2 n rad2n rad = 360180=n radn rad = 180n1= - rad 0.017 45 rad1801801 rad = 57.30 nn度数X硕=弧度数180弧度数X=度数 n3 弧度制下的弧长与扇形面积公式度量制公式弧长公式扇形面积公式n n r2 n n r角度制l 一S=1803601 1 2弧度制l = a rs-穽=2 ar(0 a 2
3、 n)(0 a 2 n)点睛由扇形的弧长及面积公式可知：对于a, r, l , S “知二求二”，它实质上是方程思想的运用.小试身手1.判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ X”)(1) 1 弧度=1 .()(2) 每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应.()(3) 用弧度制度量角，与圆的半径长短有关.()答案： X (2) V (3) Xn2 .若a = k n + , k 乙贝U a所在的象限是()3A. 第一、二象限B.第二、三象限C.第一、三象限D.第一、四象限答案：C2 n3. 半径为1，圆心角为 的扇形的面积是()A.2nC 3D.#答案：D2n4. (1) V
4、 =;(2) 210= 7n答案：(1)120 (2) 6课堂讲练设计举一施j歯类趣典例把角度与弧度的换算(1)72 ; (2) 300。； (3)2 ; (4)鲁解(1)72=72 X2n5(2) 300= 300X=180180360(3) 2 = 2X =- nn2n盲=2n 1809X n=40角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式n rad = 180是关键，由它可以得到：度数n180=弧度数，弧度数X180活学活用将下列角度与弧度进行互化:5117no(1)- n； (2) p ； (3)10 ; (4) 855511511解：(1)W n= 6 X 180= 15
5、 330 .(3)107n72存 180=105=10Xn180n18.(4) 855=855Xn18019n4题型二1用弧度制表示角的集合典例已知角a = 2 005 .(1)将a改写成3 + 2kn(k Z,02n )的形式，并指出a是第几象限的角; 在5n, 0)内找出与a终边相同的角.n401 n解(1)2 005 = 2 005 X rad = rad18036365X 2n+ 43 rad，又 nv41上3“3641 n角a与终边相同，是第二象限的角.36与a终边相同的角为2k n +41 n贡(k Z)，由一5nW2k n + 0, k Z 知 k = 1, 2, 3.36 在5
6、n, 0）内与a终边相同的角是一 箫,驾，.用弧度制表示终边相同的角2k n+ a （k Z）时，其中2k n是n的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.活学活用1.将一1 125 表示成 2k n+ a , 0W a 2 n, k Z的形式为解析：因为一11254X 360+ 315,315= 315X 180所以一1 125 = 8n +7nT.十宀7 n答案：8n+ f2用弧度表示终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合.T4c解：如图，330角的终边与30角的终边相同，将一30化为弧度，即一而75n 5 n=75X 面12，终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
7、5 ne 2k n e 2k n + 石,k Z扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1.已知扇形的半径为 10 cm，圆心角为60,求扇形的弧长和面积.nn10 n解：已知扇形的圆心角 a = 60=,半径r = 10 cm,则弧长I = a r =-3 x 10=3 331 110 n50 n 2(cm)，于是面积 S= qlr = q x x 10= (cm ).题点二：利用公式求半径和弧度数2扇形OAB的面积是4 cm2,它的周长是 8 cm,求扇形的半径和圆心角.解：设扇形圆心角的弧度数为0 (0 0 2n )，弧长为I cm，半径为r cm,1 + 2r = 8,依题
8、意有12 r = 4,由，得 r = 2 , I = 8- 2r = 4, 0=十=2.故所求扇形的半径为 2、圆心角为2 rad.题点三：利用公式求扇形面积的最值3已知扇形的周长是30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为a (0 a 2n )，半径为r ,面积为S,弧长为I，贝U I + 2r = 30,故 I = 30 2r,1 1215 2 2251515从而 S=#r =-(30 2r) r = r + 15r = r +r15，所以，当 r =2 224 n + 12225 cm时，a = 2，扇形面积最大，最大面积为cm
9、2.4弧度制下涉及扇形问题的攻略1 1(1) 明确弧度制下扇形的面积公式是S= 2Ir = 2I a |r2(其中I是扇形的弧长，r是扇形的半径，a是扇形的圆心角).(2) 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.提醒运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是a为弧度.课后层级训练，步步捏升能力层级一学业水平达标1 .把50化为弧度为（)5 nA. 50B.18189 000C.55 nD.n解析：选B50=50Xn18o5 n182扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（A. 1
10、6 nB. 32 nC. 16D. 32解析：选 C 弧长 I = 2r, 4r = 16, r = 4,得 I = 8,1即 S= qlr = 16.5 n3.角a的终边落在区间 一3n, -厂内，则角a所在的象限是（）B.第二象限D.第四象限A.第一象限C.第三象限5冗解析：选C 3n的终边在x轴的非正半轴上，代的终边在y轴的非正半轴上， 故 角a为第三象限角.4. 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（1414A. nB. nC.718nD.18n解析：选B显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了 3周，转过的弧度为-|x 2n= 145. 下列表示中不正确的是
11、（）A. 终边在X轴上的角的集合是 a | a = kn, k ZnB. 终边在y轴上的角的集合是 aa= + k n, k ZnC. 终边在坐标轴上的角的集合是aa= k 2, k ZD.终边在直线y = X上的角的集合是aa7t+ 2k n,k Zn解析：选D 终边在直线y = x上的角的集合应是 aa =- + k n, k Z .11 n6. 135化为弧度为 ，二一化为角度为 3n 3解析：一135 = 135 X 180 = n,n = 131X 180= 6603 3答案：-n 6607. 扇形的半径是 垂，圆心角是60,则该扇形的面积为 .11yn解析：60=，扇形的面积公式为
12、 S扇形=2 ar= 2 X 3 X( . 6) 2=n.答案：n亠 ”k n n& 设集合 M= aa = 2 3， k Z , N= a | n a n ，贝V MTl N=,k n n48解析：由一n yn，得一3k./ k Z,.k = 1,0,1,2 ,5MTl N= 6 n,答案:5n6n, 3 ,7t9.一个扇形的面积为 1,周长为4，求圆心角的弧度数. 解：设扇形的半径为 R,弧长为I，则2R+ I = 4.1 1根据扇形面积公式 S= ?IR，得1 = ?1 R2R+ l = 4,联立1R= 1,解得 R= 1, l = 2,l 2R= 1 =2.10将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角.(1) 1 725 ; (2) 60+ 360 k(k Z).5 n5 n解：(1) 1 725 = 75 5X 360= 5X 2n+ 石=10n+ 云，是第一象限角.60+ 360 k =180nX 60+ 2nk=3 + 2kn(kE Z)，是第四象限角.31.F列转化结果错误的是（A.n60化成弧度是B.10 、n化成度是一6
