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1、一、 pla函数理论Cpa理论的是由Slar在1959年提出的,Sklr指出,可以将任意一种维联合累积分布函数分解为个边沿累积分布和一种Coa函数。边沿分布描述的是变量的分布,Copula函数描述的是变量之间的有关性。也就是说,Cpua函数事实上是一类将变量联合累积分布函数同变量边沿累积分布函数连接起来的函数,因此也有人称其为“连接函数”。oula函数是定义域为,1均匀分布的多维联合分布函数,她可以将多种随机变量的边沿分布连.起来得到她们的联合分布。oua函数的性质定理 （Sklr定理159) 令F为一种维变量的联合累积分布函数,其中各变量的边沿累积分布函数记为F,那么存在一种n维pul函数C
2、,使得若边沿累积分布函数i是持续的，则Copa函数是唯一的。否则,Cpula函数C只在各边沿累积分布函数值域内是唯一拟定的。对于有持续的边沿分布的状况，对于所有的,均有在有非减的边沿变换绝大多数的从Skl 定理可以看出, Coul 函数能独立于随机变量的边沿分布反映随机变量的有关性构造, 从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别解决:变量间的有关性构造和变量的边沿分布, 其中有关性构造用Copula函数来描述。opu 函数的长处在于不必规定具有相似的边沿分布， 任意边沿分布经Copul 函数连接都可构导致联合分布，由于变量的所有信息都涉及在边沿分布里, 在转换过程中不会产生信息失真。Coul函
3、数总体上可以划分为三类： 椭圆型、Ahiedan(阿基米德） 型和二次型, 其中含一种参数的rcmeean Coula 函数应用最为广泛,多维Acimedan Copua 函数的构造一般是基于二维的,根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种. 三种常用的3维非对称型rchimean u函数: rank rchie Copla函数 ,Clyn Archimean Copula函数,GumberimeeanCpla函数二、 oua函数的应用opula函数的应用品体涉及如下几种环节：拟定各变量的边沿分布; 拟定Copl 函数的参数;根据评价指标选用Cpla 函数,建立联合分布; 根据所建分布进
4、行相应的记录分析。:参数估计Coula 函数的参数估计措施大体可分为三种:关性指标法, 根据上面提到的endal秩有关系数$与 的关系间接求得。适线法, 即在一定的适线准则下， 求解与经验点据拟合最优的频率曲线的记录参数。极大似然法, 对于三维及以上的Cola 函数，有关性指标法显然不再合用,此时大多采用极大似然法进行参数估计。肖义在分析前两种措施的基本上,觉得相对于单变量分布，Cla函数的参数估计对资料的长度规定更高, 对于中小样本也许导致估计值抽样误差大， 估计值不稳定, 她采用自助法耦合这两种措施进行参数估计。记录实验表白, 有关性指标法参数估计值的置信区间较窄、成果更稳定, 自助法可以
5、提高有关性指标法的估计能力, 对于适线法效果却不佳,会导致估计值严重偏大。均方差（RMSE)：可以用来评价参数估计的有效性Cop 函数的假设检查卡方检查 omooro-Smirno( -S)检查 Cpl 函数的拟合优度评价（ 1) 离差平方和准则法。采用离差平方和最小准则（OLS） 来评价Coul 措施的有效性, 并选用LS 最小的Copula作为联结函数。OLS（2）IC信息准则法。A 信息准则涉及两个部分: opul函数拟合的偏差和Cp 函数的参数个数导致的不稳定性( 3）Geneiest 措施。Gees和Rives提出了一种比较直观地选择pula 函数的措施，Copul 函数重要应用方向
6、如下(1）在分期设计洪水中的应用分期设计洪水既要满足防洪原则,又能反映洪水的季节性变化特性。现行分期设计洪水模式假定各分期频率均等于防洪原则T的倒数,使得分期设计洪水值不能满足防洪原则的规定。选择合适的Cola 函数构建汛期分期为三分期、边沿分布为PI分布的分期设计洪水的联合分布。在假定分期设计洪水的联合重现期等于防洪原则T 的前提下,推导基于Copula函数的分期设计洪水频率和防洪原则的关系,进而推求分期洪水设计值，并与现行分期设计洪水模式的计算成果相比较,分析论证了基于Cpua 函数分期设计洪水的合理性，从理论和措施上回答和解决现行分期设计洪水中存在的问题，为分期设计洪水研究提供了一种新的
7、途径。现行措施采用分期最大洪水选样， 根据这种洪水系列计算的洪水频率不同于一般根据全年最大洪水系列计算的频率。现行的分期设计洪水模式假定分期设计洪水频率均采用本来的年防洪原则,分期最大洪水系列中的部分(有时候甚至为所有)洪水不是年最大洪水, 这些洪水在一年内就也许被超过多次。也就是,在各分期分别取样后来，其分期设计洪水值均不不小于或等于年最大设计洪水值,不能保证分期设计洪水可以真正达到规定的防洪原则，主汛期设计洪水一般较年最大值取样得到的设计洪水小,这样也许导致主汛期汛限水位较原设计汛限水位抬高这一明显不合理的现象,从而减少水库的防洪原则。为避免这种现象的发生，规范与设计手册中将主汛期设计洪水
8、值强制等于年最大取样计算的设计洪水值,但这种解决措施只能保证主汛期设计洪水达到指定的防洪原则， 并不涉及其他分期，因而仍不可以达到指定的年防洪原则。现行措施反映了洪水的季节性规律, 却不能满足设计原则。对的计算分期设计洪水的途径应既要反映洪水的季节性规律，又要使计算的分期设计洪水符合防洪设计原则（以年为单位的重现期表达)。(2）在径流随机模拟中的应用（1)模型:基于Copua函数的一阶非平稳时间序列模型随机模型的核心问题是构建联合分布或条件概率分布。建立了基于Copul函数的一阶非平稳时间序列模型,即季节性CAR(1)模型,并与季节性AR（1)模型进行比较。以宜昌站月径流模拟为例，研究了季节性
9、AR(1)模型的实用性。成果表白,所建模型能较好的模拟原序列的记录特性，特别是偏态特性、非线性有关性和概率密度特性的保持上，为水文水资源随机模拟研究提供了一种新的途径。（3)基于opula 函数的设计洪水过程线措施采用opla 函数构造边沿分布为II 分布的联合分布,用以描述年最大洪峰和年最大时段洪量,并简介两变量情形下的重现期定义，根据建立的联合分布和两变量的重现期提出基于两变量联合分布的设计洪水过程线推求措施. 研究有助于进一步结识设计洪水过程线的推求措施，并为设计洪水过程线推求提供了一种新思路.(4)分期设计洪水频率与防洪原则关系研究现行分期设计洪水模式估算的分期设计洪水值均不不小于或等
10、于年最大设计值，达不到规定的防洪原则。采用Gumbel-ogaardopul函数描述两个分期的分期最大洪水之间的有关性构造,并构造边沿分布为P-分布的分期最大洪水联合分布，建立分期最大洪水与年最大洪水的关系式,讨论分期设计洪水频率与防洪原则应满足的关系，探讨可以满足防洪原则的新的分期设计洪水模式。应用示例表白,新模式主汛期设计值相对年最大设计值小幅度增长,而非主汛期设计值则不不小于年最大设计值,既满足不减少防洪原则的规定又可以起到优化设计洪水的作用,为分期设计洪水研究提供了一条新的思路。(5)基于oul函数的设计洪水过程线措施采用opula 函数构造边沿分布为III分布的联合分布,用以描述年最
11、大洪峰和年最大时段洪量,并简介两变量情形下 的重现期定义,根据建立的联合分布和两变量的重现期提出基于两变量联合分布的设计洪水过程线推求措施. 研究有助于进一步结识设计洪水过程线的推求措施,并为设计洪水过程线推求提供了一种新思路.本文在边沿分布为I型分布的联合分布的基本上，初步探讨了设计洪水过程线推求措施,并与现行的基于单变量分布的同频率设计洪水过程线措施进行了比较. 单变量措施可以分别解决描述洪水过程线的多种特性量，并控制各个特性量的重现期分别等于设计原则,但重现期的概念仅仅针对特性量,而不是针对整个设计洪水过程 本文提出的基于峰量两变量联合分布的措施,将描述设计洪水过程线的变量简化成峰量两个
12、特性量,可以在考虑峰量有关性的前提下描述设计洪水过程的重现期.所提出的措施合用于峰量均起控制作用状况下设计洪水过程线的推求，为设计洪水过程线研究提供了一条新思路. 本文仅对于两变量情形进行讨论,对于考虑3个变量以上的设计洪水过程线推求，需要借助于多变量Cpla 函数() 基于Cula函数法推求分期设计洪水和汛限水位采用3维非对称型FrakCopla函数构造,构建汛期分期为三分期、边沿分布为P型分布的分期洪水联合分布.在假定分期设计洪水值的联合重现期等于防洪原则T的前提下,推导基于rankopula函数的分期设计洪水频率和防洪原则的关系,解决了分期设计洪水达不到防洪原则和分期频率与年频率不一致的
13、问题,为分期设计洪水、分期汛限水位优化设计提供了一条新思路.采用Copula函数构建分期设计洪水的联合分布进而根据运用防洪原则的等价形式推求分期汛限水位，不仅考虑了各分期之间的有关性,并且在反映分期洪水季节性特性的同步,解决现行分期设计洪水达不到防洪原则的问题，同步用年组合频率作为下游防洪原则的等价形式，避开了现行汛限水位措施中年频率和分期频率含义不一致的问题,因而本文在联合设计分期洪水的基本上,从年组合频率和分期频率的关系出发,初选分期汛限水位,从而为分期设计洪水、分期汛限水位优化设计提供了一条新思路.其她应用,在洪水频率分析计算中的应用，在降雨频率分析计算中的应用，在干旱特性分析中的应用，
14、在洪水或降雨遭遇问题中的应用,在水文随机模拟中的应用三、结论与展望此后的研究将集中于如下三方面:(1）ola 函数理论与措施自身的完善:函数虽早在159 年就已提出, 但直到上个世纪9 年代才得以迅速发展， 其自身尚处在不断发展完善阶段，与其她理论如y 理论、马尔可夫链等的结合将是该理论的一种发展趋势。 年， Huad 等通过Bae技术拟定Copula函数的选择， 这也是水文学家提出或改善数学措施理论的一种典型例子。此外, 当考虑到样本的尾部有关特性时，如何选择与之相适应的oula 函数也将是此后一种研究热点。（2)Cpla 函数应用范畴的拓广。但凡具有有关性的两个或多种变量,无论是互有关还是自有关,理论上都可以用Copa 函数刻画其相依构造， 这就使得oua函数将有很大的应用空间。具体到水文分析计算领域, 例如降雨与径流,水沙关系， 防洪体系的防洪原则问题，区域水文风险研究等等,都可以应用该理论进行研究。（ 3)Copa 函数维数拓展及有关问题。目前对于Co 函数的研究和应用多限于二维, 随着计算机技术的进步及研究问题的复杂性, 三维及以上Cpul函数的应用以及伴之而来的参数估计、函数类型选择等问题都需要进一步的研究。
