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1、f不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分 重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文 论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总 结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1. 利用基本公式。(这就不多说了)2. 第一类换元法。(凑微分)设f(u)具有原函数F(u)o则f f p (x) ( x)dx = f f p (x)dp (x) = F p (x) + C其中p (x)可微。
2、用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容， 同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2：例 1： f ln(+F dx【解】(ln(x +1)-lnx)二1 -1_ 1x + 1 xx ( x + 1)x(x +1)例 2： f 1 + lnx dx ( x ln x)2fln(x +1_ln dx - -f (ln(x +1) 一 ln x)d (ln(x +1) 一 ln x) = -1 (ln(x +1) 一 ln x)2 + C x(x +1)2【解】(xlnx) =
3、 1 + lnx1 + ln xdx ln x1Jdx = J二一 + Cx(x+1)2(xlnx)2xlnx3. 第二类换元法：设x = p (t)是单调、可导的函数，并且p(t)丰0.又设f p(t)p(t)具有原函数,则有换元公式f f (x)dx =f f p (t 加(t )dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种：(1) 、a2 一 x2： x = a sin t； x = a cos t(2) ： x2 + a2： x = a tan t； x = a cot t； x = asht(3) ：x2 一 a2： x = a sec
4、t； x = a csc t； x = acht(4)n；ax + b： ax + b = t(6)当被积函数含有x - max2 + bx + c,有时倒代换x =1也奏效。 t(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。J sin：xdxt = vx2.t sintdt = 一 2(t cost 一 Jcostdt)=_2t cost + 2 sint + C = 2.x cosx + 2sin、x + C但当根号内出现高次幂时可能保留根号，一丄t2丿J 竺 x = 1J tX *X12 - 1tj 1dt = t 1 - t121 J 1 dt66：1 - t121 .- arc
5、sin x-6 + c 61丘-1 J dt1 一 t12t5(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。 J sin.xdxt = vx2jt sintdt = 一 2(t cost 一 Jcostdt)=-2t cost + 2sint + C = -2：x cos、：x + 2sinx + C 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， x = 1J tX I： X12 - 1tdx-J扌.dtt 七 1 - t12 -1 J 1 一 dt661 - t12-iarcsin x-6 + c6t6- 1-J丄 v1 - t12dt4. 分部积分法.公式：JMdv = yv-Jpdv分部积
6、分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分。具体选取卩、V时，通常基于以下两点考虑:（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型 举两个例子吧！J x 3 arccos x.1 x2【解】观察被积函数，选取变换t = arccos x，则cos3 tdx = Jt(- sin t)dt = J -1 cos3 tdt =sin tJ t (sin2t - 1)d sin t = J td (1 sins t - sin t)= 11tsin3一tsint-J (_sin31一sint)dt =33t sin3-1 sin t + J d-sin21 - 1)d
7、 cos t =33121t sm3 -1 sin t - cos t - cos31 + C =339121一一 x3 - x - (x2 + 2).1 - x2 arccos x + C933例 4： Jarcsin2xdx【解】J arcsin2 xdx = x sin2 x-J x 2arcsin x = dx1 x2x arcsin x + J 2 arcsin xd1 - x 2 =xarcsin x + 2.1 - x2 arcsin x - J1-x 2 -. 1 x2xarcsin x + 2.1 - x2 arcsin x - 2x + C上面的例3，降低了多项式系数；例
8、4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在Jpdv = v-Jpdv中，卩、v的选取有下面简单的规律：(1) P = P (x)，v =e ax, sin ax, cos axm(2) 卩=ln x, arctan x, arcsin x， v = P (x)m(3) 卩=eax， v = cos Px, sin Px(3)会出现循环，注意卩，v选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：(lnx arcsinx)Pm(x)(aAxsinx)VV但是，当卩=Inx, v = arcsinx时，是无法求解的。对于(3)情况，有两个通用公式：eaxI = J
9、eax sin bx - dx =(a sin bx - b cos bx) + C1 a2 + b2eaxe axI = J eax cos bx - dx =(a cos bx + b sin bx) + C2 a2 +b2(分部积分法用处多多在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中，常可以看到 分部积分)5 不定积分中三角函数的处理1. 分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数Jdx上下同乘sin x变形为sin 2 x + cos2 xJ 1 dx J ( cos xd$os x)、sin x + cos x 一 cos2 x 1 + cos x令u = cos x，则为-du
10、+ u4“ u-J( uT )訂(1 U2“ + u29 + u/1、1 n 1 + cos x(4 ln2 + cos x41 cos x1 x1xIn tan2 sec2+ c2 2422. 只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sin2 x + cos2 x二1的使用。J sin x cos x 门乂 sin x + cos x1 J(sinx + cosx- 1 dx2sin x + cos xdxsin x cos xsin(x + 兀 / 4)_1r（x兀）lntan+ 2J212 8丿+ c1 (sinx cosx) 2三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可
11、能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3. 函数的降次形如J sinm x cosn xdx的积分（m，n为非负整数）当m为奇数时，可令u二cosx，于是J sin m x cosn xdxsinm 1 x cosn xd cos xu2卜u ndu ，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令u二sinx，于是J sin m x cosn xdxJ sinm x cosn1 xd sin xJum同样转化为多项式的积分。当 m， n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式sin x cos x=isin 2x,2sin 2 x1 cos 2x2cos2 x1 + cos
12、2x不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。 形如 J tan n x dx 和 J cotn xdx 的积分（ n 为正整数）令u 二 tan xdx，贝= arctanu , dx 二du1 + U2，从而J tann xdxun1 + U2du,已转化成有理函数的积分。类似地，J cotn xdx可通过代换u = cot X转为成有理函数的积分。形如Jsecn xdxcscmxdx的积分(n为正整数)当n为偶数时，若令u = tan x，du=arc tan u, dx =1 + u2于是J secn xdx+ tan2 x)1 d+ u2du1 + u2+ u2)-1du已
13、转化成多项式的积分。类似地，J cscn xdx可通过代换u = cot X转化成有理函数的积分。当 n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。4当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。1X2-1 Jxd (in2x)= 1x2- 1xx一 x sin 2x+ 1 J sin 2xdx44444112x12xX2- xsin一 cos+ c448J xsin2xdx = J x - Fx =1x2 - 2J xcos2xdx5.几种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分有理函数竺 先化为多项式和真分式竺 之和，再把P*x)分解为若干Q (x)Q (x)Q (x)个部分分式之和。(对各部分分
14、式的处理可能会比较复杂。出现I =J竺一n (a 2 + X 2)n时，记得用递推公式：I =X+ 2n - 3 I )n 2a2(n一 1)(x2 + a2)n-12a2(n一 1) n-11.有理真分式化为部分分式之和求解 简单的有理真分式的拆分J ( 1) dx =ff 丄一亠仏x 1 + X4 丿(x1 + X4 丿=ln|x-ln1 + X44注意分子和分母在形式上的联系dt =旦-1爲 + t)+ c3x 3 + X7-3 + t 丿-ln3 + X7)+ c3此类题目一般还有另外一种题型J dx 二 1Jx 2 + 2x + 52二 1 ln (2 + 2x + 5)+ c 22x + 2 dxx 2 + 2x + 52.注意分母(分子)有理化的使用Jdx
