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1、学科：数学教学内容：平面向量【考点梳理】一、考试内容1.向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。2.平面向量的坐标表示，线段的定比分点。3.平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。4.平移及平移公式。二、考试要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2.掌握向量的加法与减法。3.掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分
2、点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。三、考点简析1.平面向量知识结构表2.向量的概念（1）向量的基本概念定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。特定大小或特定关系的向量零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。表示法几何法：画有向线段表示，记为或。坐标法：=xi+yj=(x,y)。=(x2x1,y2y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)（2）向量的运算向量的加法与减法定义与法则（如图51）：a+b=(x1+x2,y1+y2),ab=(x1x2,y1y2)。其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。运算律：a+b=b+a,(
3、a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图52）：a=(x,y)=(x, y)运算律（a）=()a,( +)a=a+a, (a+b)= a+b。平面向量的数量积定义与法则（如图53）：ab=|a|b|cos(a0,b0,0)0a=0,ab=x1x2+y1y2a=(x1,y1),b=(x2,y2)。运算律：ab=ba,(a)b=a(b)=（ab），（a+b）c=ac+bc。（3）定理与公式共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b= a平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的。
4、任一向量a，有且只有一对实数1,2使a=1e1+2e2两向量垂直的充要条件(i)abab=0(ii)abx1x2+y1y2=0（a=(x1,y1),b=(x2,y2)）三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数、,使=+，其中+=1，O为平面内的任一点。数值计算公式两点间的距离公式：|=P1(),P2(x2,y2)线段的定比分点坐标公式：P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),P(x,y), =中点坐标公式：两向量的夹角公式：cos=0180,a=(x1,y1),b=(x2,y2)图形变换公式平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x,y)，则有关结论(
5、i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则(+);一般地，若P是分线段AB成定比的分点（即=，1）则=+，此即线段定比分点的向量式（注意与例7（1）表述方法的不同，例7（1）用时很方便）。(ii)有限个向量a1,a2,an相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1, =a2, =an,则向量即这些向量的和，即a1+a2+an=+=（向量加法的多边形法则）。当An和O重合时（即上述折线OA1A2An成封闭折线时），则和向量为零向量。注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。3.向量的应用（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用四
6、、思想方法向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。向量法在处理物理学、几何学中有很大的用处。【例题解析】例1 设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|a0;(2)若a与a0平行，则a=|a|a0；（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ）A.0B.1C.2D.3解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=|a|a0，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。注 向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念
7、的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。例2 已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin），a与b之间有关系|ka+b|=|akb|，其中k0，（1）用k表示ab;（2）求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小。解 （1）要求用k表示ab,而已知|ka+b|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|akb|)2k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b22kab)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2ab =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,ab =（2）k2+12k，即=ab的最小值为，又ab =| a|b |cos，|a|
8、=|b|=1=11cos。=60,此时a与b的夹角为60。注 与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2ab例3 已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60, x=2ab,y=3ba,则x与y的夹角是多少？解 由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60,得ab=|a|b|cos=。要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值。|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96+1=7.xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23
9、b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=coscos=，=arccos。注 在计算x,y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得，如图所示，设=b, =a, =2a,BAC=60。由向量减法的几何意义，得=2ab。由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.例4 讨论|ab|与a,b的和或差的模的大小关系。解 如图：（1）当a与b不平行时，a,b以及ab可以构成一个三角形，如图，于是| a |b|ab|a|+|b|（2）当a与b平行时，如果a与b的方向相同，则有|ab|=|a|b|，其中当|a|b|时，有|ab|=|a|b|，当|a|0，即ab
10、2+(a2+b2) +ab0。把ab=3，a2+b2=|a|2+|b|2=2+9=11代入得32+11+30，解之得，此即所求的取值范围。例6 如图所示，已知四面体OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若AB=OC，试用向量方法证明，PMQN。证明 M是BC的中点，连结OM，=（+）。同理由N是AC的中点，得=（+）。=+=（+） =（+）=（+），=+=（+）=（+）=（+）= （）。=（+）（）=（）。|=|，=0，即PMQN。例7如图，设G为OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知=h,=k,OAB与OPQ的面积分别为S和T。求证：（
11、1）+=3；（2）TS。证明 （1）连结OG并延长交AB于M，则M为AB的中点，=（+），=+。 设G分PQ所成比为t：(1t)，则=(1t) +t,而=h,=k,=（1t）h+tk。比较，得(1t)h=,tk=，即=3(1t), =3t,+=3。（2）POQ=AOB，=hk。由题（1）知k=0，3h10,=。又=，=，且依题意0h1,0k1, 1k=1=0,，。因此，STS成立。注 解本题的关键是理解向量各种运算的定义，并能熟练应用运算法则。例8 将函数y=2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y=2x2+4x+2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式。解法一 设平移向量a=(h,k)，
12、则将y=2x2按a平移之后得到的图像的解析式为y=2(xh)2+k。设M(m,n)和M(m,n)是y=2x2+4x+2与y=2(xh)2+k的两个交点，则：解得：或点（1，4）和点（1，4）在函数y=2(xh)2+k的图像上故所求解析式为：y=2(x+1)24，即y=2x2+4x2解法二 将y=2x2按向量a=(h,k)平移，设P（x,y）为y=2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P(x,y)，则故yk=2(xh)2是平移之后的函数图像解析式。由消去y得：4x24(h+1)x+2h2+k2=0又两交点关于原点对称x1+x2=0,即=0,h=1又y1+y2=0,2x124hx1+2+k+2x224hx2+2+k=02(x12+x22)+4(x1+x2)=42k2(x1+x2)2+4(x1+x2)4x1x1=42kx1x2=，4=42k,k=4y=2(x+1)24,即y=2x2+4x2。例9 如图正方形OAB
