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1、数理方程习题解答 竖立方程习题解答 习题一 1 习题二 3 习题三 5 习题四 错误！未定义书签。 习题五 错误！未定义书签。 习题1.1.4 1导出弦受阻力的波动方程 其中阻力与速度成正比，为常数 解 我们考虑弦的一个微元。令为端点处的张力，如教材图1.1所示，沿锤直方向作用在这个微元上的力是,阻力为,由牛顿(Newton)第二定律1，此合力等于质量乘以加速度因此 (1) 是微元弦的弧长因为运动弦的斜率是很小的，故有 sx.其中是密度， ，于是(1)式变成 因角和也很小，所以我们有， 但由微积分学我们知道，在时刻, 是，方程(2)便可写成 取极限，我们求得 令 其中 （2） ,于 （3） 杨
2、氏模量为，试列出杆的微小纵振动方程。 2. 设长度为的均匀弹性杆的线密度为， 解 考虑杆在无外力作用下的振动。取杆的一端为原点，干的方向为轴建立坐标系： 则杆上各点在时刻的位移是 。 ,此小杆段在时刻的相对伸长 在杆上任取一段，其两端点静止时的坐标为为：律知张力为 两边同除 并令 得： 。 ，令 得点在时刻的相对伸长为ux(x,t)，由Hooke定，再此小杆段上用Newton第二定律得 若杨氏模量为为常数则得： 牛顿(Newton)第二定律与动量守恒定律等价，也可以用动量守恒定律来见方程，见数学物理方程讲义 （姜礼尚、陈亚浙）P1 1 1 习题1.2.4 习题1.2.4 1 设悬浮粒子由重力引
3、起的沉淀速度是不变的，又假定在同一水平面上粒子的浓度是相同的，试给出悬浮粒子的浓度所满足的方程 解 取竖直向下的方向为轴，考虑介于平面之间，截面积为常数的柱体。质量守恒关系为其中为这段时间内柱体内粒子质量的增加，而为这段时间内由于扩散作用经由柱体的上、下底面进入柱体内的粒子质量，是由于沉淀经柱体的上、下底面进入柱体的粒子质量。 其中 从而 注意到 是扩散系数。 与的任意性，由上式立即得 2 没有一厚为l的无限平面板，在其表面与温度为的周围介质发生热交换，如果板的温度不随其厚度而变化(即在垂直于板面的直线上的点的温度均相同)，试给出板冷却的初边值问题。 解 取平面上任意一区域，在从到 () 这段
4、时间内考察柱体 中热量的平衡关系： 其中为从到这段时间内，中温度的变化所吸收的热量，而与则分别为这由板内其他部分流入的热量以及通过上、下板面与周围段时间内，通过介质的热交换所获得的热量。不难计算得 3 数学物理方程习题解答 从而 所以 其中 于是得二维Cauchy问题2 。此外还有初始条件 2 取垂直于板平面的方向为轴，则在温度依赖于的情况下，所讨论的是由两平面所界的无界区城内的问题，边界条件给在两平面上，此时边值问题为 在温度u不依赖于z的情况下，不能简单地由三维方程得出u满足二维热传导方程， 因为若将所给问题当作二维问题，则此时上、下板面与周围介质的热交换不能再当作边界条件来处理，而应考虑
5、到方程中去。也就是说，边界条件和方程不是截然分开的两个不同的东些，而是同一事物的不同表现方式。在齐次方程和非齐次方程、齐次边界条件和非齐次边界条件之间的转换时，就会从数学上遇到此问题。 4 习题1.3.3 习题1.3.3 1(数学物理方程讲义 姜礼尚、陈亚浙P34,17) 设 J(v)=11222?+|v|vdxa(x)vds?fvdx?gvds ()22? 其中a(x)0。考虑以下三个问题： 问题I(变分问题) ：求uM=C()使得J(u)=minJ(v) uM1 问题II：求uM=C()使得它对于任意vM都满足 1 (?u?v+u?v?fv)dx+(a(x)uv?gv)ds=0 ? 21问
6、题III (第三边值问题)：求uC()C()满足以下边值问题 ?u+u=f? ?u+a(x)u=g?n (1) 证明问题I与问题II等价 xx? (2) 当uC()C()时，证明问题I、II 、III 等价 证明 设问题I(变分问题)成立，即uM=C()使得J(u)=minJ(v)，则对uM121 ?R ? ?vMu+vM，从而 1|?(u+v)|2+(u+v)2)dx(2j()=J(u+v)= 1+a(x)(u+v)2ds?f(u+v)dx?g(u+v)ds2? 在=0取的最小值，所以 j(0)=0，即 j(0)= (?u?v+uv)dx+a(x)uvds?fvdx?gvds=0 （1） ?
7、 所以问题I?问题II。由于j()是一个二次函数，故j(0)取最小值等价于j(0)=0，也就是问题I?问题II。 当uC()C()时由高斯公式得 21 5 所以 ?(v?u)?vu?dx=?u?vdx=?v?udS?vudx ?n ?+?+uufvdx()?a(x)u+?u?g?vds=0?n?vM 由变分引理得 ?u+u=f? ?u+a(x)u=g?nxx? 所以问题II?问题III。而问题III?问题II是显然的，所以，问题II?问题III。 习题2.1.3 1 将下列方程化成标准型 (1)uxx+x2uyy=0,x>0; (2)y2uxx+x2uyy=0,x>0,y>0
8、; (3)4uxx+4uxy+uyy?2uy=0, (4)uxx+yuyy=0,y0; (5)sin2x?uxx?2ysinx?uxy+y2uyy=0; (6)(1+x2)uxx+(1+y2)uyy+xux+yuy=0. 解（1）由特征方程解得两簇共轭特征线 ，做变换 ，做变换 ，做变换 ，则由链式法则原方程化为（2）由特征方程解得两簇共轭特征线 ，则由链式法则原方程化为（3）由特征方程解得一簇特征线 ，则由链式法则原方程化为 22（4）由特征方程dy+ydx=0 当y> 0时解得一簇共轭特征线xi=c， 做变换=x，则由链式法则原方程化为u+u? 6 1u=0 当y< 0时解得两
9、簇特征线x= c，做变换 =x+=x?，则由链式法则原方程化为 u+1u?u)=0 (2(?) 2222（5）由特征方程sinxdy?2ysinxdxdy+ydx=0解得一簇特征线 ytgxx=c，做变换=ytg,=y，则由链式法则原方程化为22 2u=0 2+2u? （6）由特征方程1+x(2)dy+(1+y)dx222= 0解得两簇共轭特征线 lnx+ilny+= c，做变换=lnx+ ，( (=lny+，则由链式法则原方程化为u+u=0。 2 证明常系数方程uxy+aux+buy+cu=0必可通过未知函数变换化为(vxy+c1v=0。 证明 令u=ve?(ax+by)，则 ux=vxe?
10、(bx+ay)?bve?(bx+ay),uy=vye ?bvye?(bx+ay)?ave?(bx+ay)?(bx+ay)uxy=vxye =vxye avxe?(bx+ay)?avxe?(bx+ay)?(bx+ay)+abveuxy+aux+buy+cu?(bx+ay)?avxe?bve?(bx+ay)?bvyey?(bx+ay)+abve?ave?(bx+ay)?(bx+ay)+ ?bx+ay)(?(bx+ay) ?(bx+ay)?(bx+ay)+b(ve(?(bx+ay)?bx+ay)+cve(=vxye+(c?ab)ve=0 vxy+(c?ab)v=0 习题2.2.3 1 证明常系数椭圆
11、型方程必能通过自变量与未知函数的变换化为u+cu=0的形式。 证明： 7 的系数矩阵是正定的。取 正交矩阵使得 。在令 。最后做变换 。 。做变换 则原方程化为 可得 ，则得 2 证明常系数双曲型方程必能通过自变量与未知函数的变换化为 的形式。 证明： 为零，且有一个与其则原方程化为 可得 后做变换 ，则得 的系数矩阵 n个异号。取正交矩阵 使得 的特征值全部 。做变换。在令 。最。 习题2.3.1 1 求下列方程的特征方向 (1)ux1x1+ux2x2=ux3x3+ux4x4(2)utt=uxx+uyy+uzz(3)ut=uxx?uyy 解 （1）设=(1,2,3,4)，则1+2=3+4，取
12、单位特征方向， 2 2 2 2 2222 12+2+32+4=1。所以，12+2=32+4=。记 1 2 1=cos,2=sin,3=cos?,4=sin?，则 =?cos,sin,cos?,sin?。 222?2? （2）设=(1,2,3,4)，则1=2+3+4，取单位特征方向， 2 2 2 2 2222 12+2+32+4=1。所以，12=2+32+4= 。记 1 2121212 ?1111 ? 12 1=? 2=sin,3=cos,4=，则 ?sincos,?。 ? =?8 （3）设=(1,2,3)，则0=2?3，取单位特征方向，1+2+3=1。22222所以，1+22= 1。记1=cos,2=22,3=，则 =?cos,?,?。 ? 22 对波动方程utt?a(uxx+uyy)=0过直线l:t=0,y=2x的特征平面。 解 设单位特征方向n=(,)，则 2?a2(2+2)=0(1), +=1(2)222 易见直线l过了原点的。设所求特征平面为t+x+y=0
