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1、B-S 权证定价模型在分数布朗运动下的修正摘要：传统的金融学认为证券收益率服从对数正态分布，而大量的实证表明收益率分布 于正太分布相比有“尖峰胖尾”特征，具有分形结构。本文分析证券市场的有效性，指出 其线性范式与现实市场状况并不符合。在此基础上剖析了传统 B-S 权证定价模型的不足 结合分形市场中的分数布朗运动，提出了基于分形理论的B-S股本权证定价模型，考虑 了股本稀释效应。由于股本权证定价模型需要已知企业股权价值及其波动率，但企业价 值是权证价格的函数。基于此，运用数值方法以股票价格和波动率来估计企业价值波动 率，并给出了在实际运用中的案例。关键词：股本权证；稀释效应；B-S定价模型；分数
2、布朗运动目录摘 要 11 绪 论 31.1研究背景31.2国内外研究状况32 分数布朗运动下的权证定价模型修正 42.1 传统B-S权证定价理论及其局限性42.2 分数布朗运动下的股本权证定价模型 53 分数布朗运动下 B-S 权证定价模型的应用 93.1 股本权证在发行日的定价分析 94 结论104.1 实证研究的主要结论 104.2 展望 10参考文献 错误！未定义书签。111 绪论1.1 研究背景权证是指基础证券发行人或其以外的第三人发行的，约定持有人在规定期间内或特 定到期日，有权按约定价格向发行人购买或出售标的证券，或以现金结算方式收取结算 差价的有价证券。权证价值由两部分组成，一是
3、内在价值，即标的股票与行权价格的差价；二是时间 价值，代表持有者对未来股价波动带来的期望与机会。在其他条件相同的情况下，权证 的存续期越长，权证的价格越高；美式权证由于在存续期可以随时行权，比欧式权证的 相对价格要高。认购权证价值=（正股股价-行权价）X行权比例认沽权证价值=（行权价-正股股价）X行权比例1.2 国内外研究状况对于权证产品的定价，目前主要有两种方法，一是通过 Black-scholes 期权定价公式 进行定价，另一种是运用二叉树、有限差分、Monte Carlo模拟的方法定价。Black-Scholes 期权定价模型是权证定价的理论基础，由于 B-S 模型假设比较严格，在某种程
4、度上不符 合市场实际情况，导致通过 B-S 模型计算出来的权证价格与实际市场价格存在着一定的 差距。Black-Scholes定价模型是建立在有效市场假说基础上的，但研究表明，有效市 场假说所依赖的条件并不能成立，股票市场的收益率并不是呈现“正态分布”，而是一种 “尖峰胖尾”分布，且股价之间在不同时间存在着长期相关性 2。 Peters 基于有效市场假 说的缺陷提出了分形市场假说（FMH）,这使得资本资产定价模型、期权等衍生品定价 公式得到了发展。McCulloch提出Ustunel运用路径依赖积分发展了基于分形布朗运动 的期权定价公式4，从而为分形市场假说条件下权证定价奠定了基础5。 Sun
5、can、 Hu 和 Pasik-Duncan 推导出 Hurst 指数属于（0.5,1）时基于 Wick 算子的分形布朗运动积分，并证明分形布朗运动假设下市场是无套利的，从而推导出了分形布朗运动下欧式看涨期权 的定价模型6-7。国内对于股本权证的定价也曾有研究，叶永刚、韩志广、刘谦对传统的 Black-Scholes 期权定价模型没能考虑权证执行的“稀释效应”以及“红利分配”问题进行了修正，考虑了 分形理论，并对武钢认股权证的理论价格与实际价格进行了比较8。杨立洪、徐黄玮、 刘广采用递进方式建立了包括保底条款、股本摊薄、交易费用和除权除息等四个因素的 股本权证定价模型9。杜文歌、刘小茂考虑到金
6、融市场中资产价格具有的记忆性和长期 相关性，在B-S模型引入了一个跳过程，得出稀释调整后的股本权证定价公式，并将其 推广到支付红利状况下10。这些对权证产品定价的研究，主要是建立在标的股票收益率 是正态分布的假设条件下运用Black-Scholes定价模型。Hull的股本认股权证定价模型 考虑了“稀释效应”，但运用该模型来定价事，需要知道公司的权益价值V及其波动率， 但这两个变量是不可观察的11。以往有些研究为了方便，简单地用股票的价格及其波动 率来近似替代公司的权益价值及其波动率这两个不可观察的变量，而通过这种简化方法 计算出来的权证价格往往与实际的合理价格存在着一定的差距。为了弥补这些缺陷
7、，本 文在Ukhov、Andrey D.提出的利用数值算法对权证定价方法的基础上口2】，借鉴Ciprian Necula 推出的分数布朗运动下 Black-Scholes 期权模型13，结合分形市场中的分数布朗 运动，对股本权证 B-S 定价模型进行了修正，并进行了情景模拟检验。2 分数布朗运动下的权证定价模型修正2.1传统B-S权证定价理论及其局限性Black-Scholes 于 1973 年在一系列假设条件(1)-(6)基础上推导出期权定价模型，简称B-S 模型：(1) 市场是无摩擦的，存在卖空机制(2) 市场不存在套利机会(3) 标的资产不支付红利(4) 标的资产交易可以连续进行且标的资
8、产具有可分割性(5) 存在无风险利率 r 标的资产价格St满足式dS二卩S d +cSdB。ttt tt t行权价格为X,到期日为T的欧式认购权证在时刻t,标的资产价格为St时的价格 为：Vc 二 V(S, t)二 SN(d ) - Xe-r(t-t)N(d )tt 12d 二ln(S /X) + (r + a2/2)(T t)/T-1其中，1t，这里，Vc为权证的价格，X表示执d 二ln(S / X) + (r-a2/2)(T -1)/-1t2t行价格，S为标的资产价格，T为权证的到期日，t为当前时点，r是无风险利率，a表 示标的股票波动率，N()为标准正态分布的累积概率分布函数。B-S 模
9、型是建立在有效市场假设的基础上，认为金融资产价格波动相互独立，其收 益率是独立同分布的随机变量，且服从正态分布。近年来中国股票市场的大量实证研究 结果表明，股票市场价格变化并不呈现正态分布，而是一种“尖峰胖尾”分布，即分形结 构。由于分形市场假说基于不依赖独立及正态分布等假设,利用分数布朗运动能很好地解 释股票市场中的“尖峰胖尾”现象，因此运用分数布朗运动下的Hurst指数的H值对权证定 价公式中的参数进行修正就显得非常必要。2.2 分数布朗运动下的股本权证定价模型股本权证在被行使时有可能使标的资产的流通量增大，权证执行时的现金支付会增 加发行权证公司的权益价值，并稀释现有股东的利益，即“稀释
10、效应”，这就是所谓的股 本稀释问题。若采用传统的B-S模型定价会高估权证的价值。Galai和Schneller提出了修正的权证定价公式，W =丄C ,式中W为权证价值，q为稀释系数(即等于n/N),1 + q wN为已发行股本，n为一旦权证被行使新发行的股本，CW为以一个没有权证的公司股票 为标的的看涨期权价值Ml。Schulz和Trautmann、Crouhy和Galai讨论了 CW的表达式, 这个表达式是建立在一个仅有股权资本结构公司基础上，被定义为股票和权证之和，V=NS+nW,其中，V为公司股权的价值，S为股票价格15-16。假设一家公司拥有N份发行在外的股票和M份欧式认购权证，其行权
11、比率为丫， 行权价格为X元。如果权证到期，投资者行权，公司将获得一笔现金流收入即My X， 这时公司的权益价值(包括权证价值在内)由原来的VT增加为VT+ My X，这一价值要 在N+ My份股票中分配，因此行使后的瞬间股票价格将变为 + M丫X，这样权证持有N + M yVT+M y X_ 即NyVT - XNN + M yN + my者的收益为y，只有当权证执行者的回报为正时，投资者才会执行权证。因此一份股本认股权证的价格为Ny max VT - X ,0 ，即该权证 N + myN的价格是份基于红的看涨期权的价格。这里VT是公司的权益价值,又因为Z的N + myNTN现值为红，且发行股本
12、权证的公司权益价值与股本、权证的关系为：NVMV 二 NS + MW,即 f 二 S + W00N 0 N根据Cipriani Necula利用傅立叶变换方法推导出的分数布朗运动下的B-S定价模型13，假设标的资产价格满足分形布朗运动，则有dS (t)二卩S (t) d +a SdBH (t)，这里 tS(0)=S00, 0 t T，则行权价格为X，到期日为T的欧式认购权证在时刻t，标的资产 价格为St时的价值为：Vc 二 C(S(t), t)二 S(t)N(d ) - Xe-r(t-t)N(d )其中：Ind =iS (t)X 2+ r (T t) +(T 2 H 12 H ) T 2 H
13、12 HlnS (t) 2+ r (T t) + (T 2 H 12 H )X2 .；T 2 H 12 H这里，W是股本认股权证的价格，M为新发行的权证数，N是已发行的股票数，Y 是权证的认购比率，S是股票价格，X是权证执行价格，r是无风险利率，T是到期日，t是当前时点，V和分别是企业的股权价格及其波动率。上述修正的模型与传统的 B-S 期权公式有所不同，一方面考虑了标的资产的价格变 化，即S + MW，另一方面考虑了股本权证的“稀释效应”。传统的B-S模型对股本认股N权证进行定价时，忽略了“稀释效应”，而运用基于“稀释效应”的定价模型，需要知道公 司的权益价值V及波动率，而公司权益价值又是权
14、证价格的函数，这两个变量是不可 估计的。但以往诸多股本认股权证定价研究中，往往只是简单地用股票的价格及其波动 率来近似替代公司的权益价值V及波动率这两个不可观察的变量，通过这种简化 s方法计算出来的权证价格也就与实际的合理价格存在着一定的差距。鉴于公司权益价值V与其波动率是不可观察变量，可以从股票历史波动率 S进 行估计。由于股本认股的公司权益价值与股票、权证之间存在着这样的关系：V=SN+MW， 可知公司权益价值的波动率是权证和股价波动率的加权平均。由于权证比股票的风险大 股票的波动率小于整个企业价值的波动率。Ukhov、Andrey D和Ingersoll提出了公司权益价值的波动率与股价的
15、波动率 S之间的关系并进行了证明I28】 =0 B = (VDA / SSSS即 =V DA / SS其中，VCA / S为股票价格对公司权益价值的弹性。A表示公司权益价值变化一个单位时,SS股票价格的变化量。为了计算A ,必须先求出A ( A表示公司权益价值每变化一个单位，对应权证价格的变S W W化量)。有公式(4)可得：awaV当公司权益价值V变化一个单位时，权证的价格变化A，股票价格变化A，即有:WSAM EA + N DA =A 二 1WS V有上述两式可以得到:人1 -DAA =wSNN + Y M - M 丫们）1使用可观察的股票价格和股票波动率来计算权证价格，从而得到如下两个关系式:S DN 二 V - M DW b 二（VDA / SSS这里A是耳的函数，而耳有时V和b的函数，其中b,bS,V e (0, +如W 11S DN 二 V M VW通过对式D / a组成的非线性方程组运用
